Limite a due variabili

[jackqueen]

Salve, devo risolvere questo limite a due variabili e credo di esserci riuscito solo che vorrei qualche conferma :

$ lim_((x,y)->(0,0))(x+y)^2/(x^2+y^2) $

Cambio in coordinate polari:
$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rhosinvartheta ):} $

ed ottengo $ lim_(rho->0)(rhocosvartheta+rhosinvartheta)^2/(rho^2) $ e quindi
$ lim_(rho->0)(rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta+2rho^2cosvarthetasinvartheta)/(rho^2) $
ed allora $ lim_(rho->0)(rho^2(1+2cosvarthetasinvartheta))/(rho^2)=? $
$Indef$ perchè e funzione della variazione dell'angolo $vartheta$.
Che ne pensate?

[Zero87]

"jack_queen":$Indef$ perchè e funzione della variazione dell'angolo $vartheta$.
Che ne pensate?

Bene, e ti do anche la conferma.

Il limite, lungo la retta (o direzione che dir si voglia), $y=2x$ diventa
$lim_(x->0) \frac{9x^2}{5x^2}=9/5$.
Il limite, lungo la retta/direzione, $y=-2x$ diventa
$lim_(x->0) \frac{(x-2x)^2}{5x^2}=1/5$.

Limiti diversi in direzioni diverse... limite non esiste!

Il procedimento che ho usato io, sebbene vale a prescindere (calcolare il limite in 2 direzioni differenti se si ha il sospetto che non esiste), è utilizzato massicciamente in analisi complessa e poco in analisi II.

[gio73]

Ciao zero,
approfitto di te per chiarirmi un dubbio
col sistema che hai esposto ci si limita a direzioni (rette del tipo $ax+by=0$), oppure possiamo prendere in considerazione anche altri tipi di "percorsi" (curve tipo $y=x^2$)?

[Zero87]

"gio73":col sistema che hai esposto ci si limita a direzioni (rette del tipo $ax+by=0$), oppure possiamo prendere in considerazione anche altri tipi di "percorsi" (curve tipo $y=x^2$)?

Sinceramente non me lo sono mai chiesto, anche perché prof e libri con direzioni intendono anche i vettori, dunque posso concludere che si tratta di rette.

Però ricordo in un testo di aver letto che il limite bastava farlo anche spostandosi lungo una curva che non fosse una retta; ovviamente che sia continua tale curva.

[jackqueen]

Grazie mille

[Ariz93]

"Zero87":
Sinceramente non me lo sono mai chiesto, anche perché prof e libri con direzioni intendono anche i vettori, dunque posso concludere che si tratta di rette.

Però ricordo in un testo di aver letto che il limite bastava farlo anche spostandosi lungo una curva che non fosse una retta; ovviamente che sia continua tale curva.

Il mio prof proprio l'altro giorno nell'introduzione ci ha fatto vedere che ponendo $y= \lambda x$ il limie non dipendeva da $ \lambda$ e quindi si poteva erroneamente concludere che c'era il limite, ponendo però una curva $y= \lambda x^k$ gli veniva dipendente da $ \lambda$ e quindi bastava prendere due lambda qualunque e luno quella curva non convergeva il limite .