Limite a 2 variabili
ciao come faccio a stabilire che una funzione è limitata quando calcolo i limiti con 2 variabili?Ad esempio il limite:
$lim_(x,y -> 1,0) ((x-1)^2*arctg(x+y^2-1))/((x-1)^2+y^2)$
La mia prof ha concluso molto velocemente che è il prodotto di una limitata per infinitesima e quindi tende a 0.Sull'infinitesima ci sono che sarebbe l'arctg,ma perchè quello che resta è una funzione limitata?grazie!
$lim_(x,y -> 1,0) ((x-1)^2*arctg(x+y^2-1))/((x-1)^2+y^2)$
La mia prof ha concluso molto velocemente che è il prodotto di una limitata per infinitesima e quindi tende a 0.Sull'infinitesima ci sono che sarebbe l'arctg,ma perchè quello che resta è una funzione limitata?grazie!
Risposte
sicuramente dico una cretinata.
la funzione che t'interessa è $\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2 +y^2}$.
prima trasli nell'origine e quindi diventa della forma
$\frac{X^2}{X^2 +Y^2}$ a questo punto passi a coordinate polari.
la funzione che t'interessa è $\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2 +y^2}$.
prima trasli nell'origine e quindi diventa della forma
$\frac{X^2}{X^2 +Y^2}$ a questo punto passi a coordinate polari.
non ho capito :s
allora fai il cambio di coordinate $X=x-1$ e $Y=y$ così quando $(x,y)\rightarrow (1,0)$ allora $(X,Y)\rightarrow (0,0)$.
quindi la tua funzione diventa
$\frac{X^2}{X^{2}+Y^2}$ a questo punto passi a coordinate
$X=Rcos(\theta)$ e $Y=Rsin(\theta)$ e quindi la funzione diventa dopo questa sostituzione semplicemente
$(cos(\theta))^2$ che è ovviamente limitata
quindi la tua funzione diventa
$\frac{X^2}{X^{2}+Y^2}$ a questo punto passi a coordinate
$X=Rcos(\theta)$ e $Y=Rsin(\theta)$ e quindi la funzione diventa dopo questa sostituzione semplicemente
$(cos(\theta))^2$ che è ovviamente limitata
wow grazie...non sapevo ne che si potesse fare,ne come si facesse,ne niente di sta cosa delle cordinate polari.Però ho capito cosa hai fatto.La prof però sta cosa non ce l'ha spiegata,in genere i limiti a 2 variabili ce li fa risolvere maggiorando e minorando,tuttavia arrivato alla fine quando esce coseno di teta,passando al limite cosa devo scrivere visto che non dipende piu da X,Y?
nulla quella è una funzione che è limitata quindi quella in modulo la maggiori con uno quindi detta $f(\theta)=(cos(\theta))^2$ hai che
$|f(\theta)arctg(...)|<=arctg(..)|$ e quindi il limite è zero!
$|f(\theta)arctg(...)|<=arctg(..)|$ e quindi il limite è zero!
@and1991: Per risolvere come sei abituato, basta notare che [tex]$\left| \tfrac{(x-1)^2}{(x-1)^2+y^2}\right| \leq 1$[/tex] e [tex]$|\arctan (x+y^2-1)|\leq |x+y^2-1|$[/tex].
grazie gugo.La maggiorazione dell'arctg è sempre vera?intendo $|arctg(x)|<=x
Certo. E si può dimostrare in diversi modi.
Ad esempio, preso [tex]$0\leq t$[/tex], si ha [tex]$\frac{1}{1+t^2}\leq 1$[/tex], quindi integrando m.a.m. tra [tex]$0$[/tex] ed un punto variabile [tex]$x\geq 0$[/tex] si ottiene:
[tex]$\arctan x=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\ \text{d} t \leq \int_0^x 1\ \text{d} t =x$[/tex];
ovviamente la disuguaglianza funziona a rovescio se [tex]$x<0$[/tex]; quindi in ogni caso [tex]$|\arctan x|\leq |x|$[/tex].
Ad esempio, preso [tex]$0\leq t$[/tex], si ha [tex]$\frac{1}{1+t^2}\leq 1$[/tex], quindi integrando m.a.m. tra [tex]$0$[/tex] ed un punto variabile [tex]$x\geq 0$[/tex] si ottiene:
[tex]$\arctan x=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\ \text{d} t \leq \int_0^x 1\ \text{d} t =x$[/tex];
ovviamente la disuguaglianza funziona a rovescio se [tex]$x<0$[/tex]; quindi in ogni caso [tex]$|\arctan x|\leq |x|$[/tex].
Non sono d'accordo: se $x<0$
$|arctg(x)|$ è un numero positivo
$x$ è un numero negativo,
quindi si ha sicuramente che $|arctg(x)|>x$ (se $x<0$)
$|arctg(x)|$ è un numero positivo
$x$ è un numero negativo,
quindi si ha sicuramente che $|arctg(x)|>x$ (se $x<0$)
Si, ho zompato il valore assoluto a secondo membro; chiedo venia e correggo.
mitico grazie!
"gugo82":
Si, ho zompato il valore assoluto a secondo membro;
Ok no problem
. Anche se in realtà le cose non cambiano se si toglie il valore assoluto:Sia $f(x)=x-arctg(x)$. allora si ha che
$f(x)<0$ se $x<0$;
$f(0)=0$;
$f(x)>0$ se $x>0$
esiste una tavola con le maggiorazioni più utili da qualche parte?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo