Limite
Salve ragazzi,
qulcuno potrebbe darmi una mano con questo limite:
$lim_(x->0+) (cosx^(cot^2x) - e^(-1/2))/x^2 $
allora come primo passaggio:
$lim_(x->0+) (e^(ln(cosx)/(tg^2x)) - e^(-1/2))/x^2 $
A questo punto ho provato ad applicare l'hopital ma diventa solo piu ingarbugliato....ho provato ad applicare gli sviluppi di taylor solo che non mi ritrovo con i conti (in realtà ho ancora qualche perplessità su questo argomento, poichè e non faceva parte del corso e ho dovuto studiarlo da solo!)....
qualcuno può aiutarmi?
grazie
qulcuno potrebbe darmi una mano con questo limite:
$lim_(x->0+) (cosx^(cot^2x) - e^(-1/2))/x^2 $
allora come primo passaggio:
$lim_(x->0+) (e^(ln(cosx)/(tg^2x)) - e^(-1/2))/x^2 $
A questo punto ho provato ad applicare l'hopital ma diventa solo piu ingarbugliato....ho provato ad applicare gli sviluppi di taylor solo che non mi ritrovo con i conti (in realtà ho ancora qualche perplessità su questo argomento, poichè e non faceva parte del corso e ho dovuto studiarlo da solo!)....
qualcuno può aiutarmi?
grazie
Risposte
E' $(cosx)^(cot^2x)$ al numeratore ?
si si
Bhè allora:
$cosx^(cot^2x) = e^(cot^2(x)*log(cos(x)))$
$cot^2(x)=1/x^2-2/3+x^2/15+o(x^2)$
$log(cos(x))=-x^2/2-x^4/12+o(x^4)$
$cot^2(x)*log(cos(x))=-1/2+x^2/4+o(x^2)$
$e^(cot^2(x)*log(cos(x)))=e^(-1/2+x^2/4+o(x^2))=1/sqrt(e)+x^2/(4 sqrt(e))+o(x^2)$
$(cosx^(cot^2x) - e^(-1/2))/x^2 sim_(x->0) 1/(4 sqrt(e))$
$cosx^(cot^2x) = e^(cot^2(x)*log(cos(x)))$
$cot^2(x)=1/x^2-2/3+x^2/15+o(x^2)$
$log(cos(x))=-x^2/2-x^4/12+o(x^4)$
$cot^2(x)*log(cos(x))=-1/2+x^2/4+o(x^2)$
$e^(cot^2(x)*log(cos(x)))=e^(-1/2+x^2/4+o(x^2))=1/sqrt(e)+x^2/(4 sqrt(e))+o(x^2)$
$(cosx^(cot^2x) - e^(-1/2))/x^2 sim_(x->0) 1/(4 sqrt(e))$
scusa me nella scomposizione in polinomio di taylor come faccio a sapere a che grado devo fermarmi???
Io ho usato l'espansione in serie di potenze, comunque in questi casi devi fermarti quando ti trovi in una situazione del tipo:
$a_0,...,a_n in RR^** ^^ b_0,...,b_m in RR^**; n,m in NN:$
$(a_0+...+a_nx^n+o_(x->0)(x^n))/(b_0+...+b_mx^m)|n>=m$
$a_0,...,a_n in RR^** ^^ b_0,...,b_m in RR^**; n,m in NN:$
$(a_0+...+a_nx^n+o_(x->0)(x^n))/(b_0+...+b_mx^m)|n>=m$
e non è la stessa cosa?
Prova a sviluppare la cotangente con Taylor / MacLaurin e guarda cosa succede....
e lo so diventa lunghissimo...e cmq tende sempre ad infinito....ti chiedo troppo se mi dai delle dritte sulle espansioni in serie di potenze...perchè non essendo argomento del corso non le ho studiate
Non so scrivere a cosa va x sotto lim se qualcuno mi insegna come si fa posto la mia soluzione...
$lim_(x->0^+) f(x) $
$lim_(x->0^+) f(x) $
"lordb":
$lim_(x->0^+) f(x) $$lim_(x->0^+) f(x) $
cos'è
Quello che chiedeva franzu !
okok
ad esempio alla $cotg^2(x)$
$1/x^2$ rappresenta il primo sviluppo di un polinomio di taylor....poi come mi ricavo $2/3$
$1/x^2$ rappresenta il primo sviluppo di un polinomio di taylor....poi come mi ricavo $2/3$
$cot(x)=1/x-1/3 x -1/45 x^3+ o(x^3)$
$cot^2(x)=(1/x-1/3 x -1/45 x^3+ o(x^3))^2=1/x^2 +x^2/9-2/3-2/45x^2 +o(x^2)$
$cot^2(x)=1/x^2 -2/3 + 3/45 x^2 + o(x^2) = x^2/15+1/x^2-2/3 +o(x^2)$
$cot^2(x)=(1/x-1/3 x -1/45 x^3+ o(x^3))^2=1/x^2 +x^2/9-2/3-2/45x^2 +o(x^2)$
$cot^2(x)=1/x^2 -2/3 + 3/45 x^2 + o(x^2) = x^2/15+1/x^2-2/3 +o(x^2)$
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