Limite
salve ragazzi,
qualcuno potrebbe aiutarmi con questo limite:
$ lim_(x->+oo) (log(x^2+2x) - log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1)$
allora un primo passaggio potrebbe essere il seguente:
$ lim_(x->+oo) ((log((x^2+2x)/(1+x^2))(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1))$
dove:
$ lim_(x->+oo) log((x^2+2x)/(1+x^2))=0$
poi come posso procedere????
grazie
qualcuno potrebbe aiutarmi con questo limite:
$ lim_(x->+oo) (log(x^2+2x) - log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1)$
allora un primo passaggio potrebbe essere il seguente:
$ lim_(x->+oo) ((log((x^2+2x)/(1+x^2))(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1))$
dove:
$ lim_(x->+oo) log((x^2+2x)/(1+x^2))=0$
poi come posso procedere????
grazie
Risposte
Controlla bene il passaggio che hai scritto, non mi sembra corretto.
allora anzitutto una differenza tra log posso vederla come rapporto degli argomenti???
$lim_(x->+oo) (log(x^2+2x)-log(1+x^2))$
quindi:
$lim_(x->+oo) log((x^2+2x)/(1+x^2))$
poi ho fatto questo passaggio:
$lim_(x->+oo) log((x^2(1+2/x))/(x^2(1/x^2+1)))$
$lim_(x->+oo) ((x^2(1+2/x))/(x^2(1/x^2+1)))$ tende ad 1
quindi il log1 tende a zero
giusto??
$lim_(x->+oo) (log(x^2+2x)-log(1+x^2))$
quindi:
$lim_(x->+oo) log((x^2+2x)/(1+x^2))$
poi ho fatto questo passaggio:
$lim_(x->+oo) log((x^2(1+2/x))/(x^2(1/x^2+1)))$
$lim_(x->+oo) ((x^2(1+2/x))/(x^2(1/x^2+1)))$ tende ad 1
quindi il log1 tende a zero
giusto??
Ma nell'esercizio non compare semplicemente $\log(x^2+2x)-\log(1+x^2)$ a meno che non ti sia dimenticato di riportare qualche parentesi.
C'è altro a moltiplicare $\log(1+x^2)$.
C'è altro a moltiplicare $\log(1+x^2)$.
Prova a seguire questa linea:
$ lim_(x->+oo) (log(x^2+2x) - log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1)=$
$=[lim_(x->+oo) log(x^2+2x)/(e^x-1)]-[lim_(x->+oo)log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1))/(e^x-1)]$
Il primo addendo va a $0$, il secondo è il limite del prodotto fra $\log(1+x^2)$ che va a $+\infty$ per $(3^(3x-1)-e^(x^2-1))/(e^x-1)$ che va a $-\infty$ (ovviamente queste cose vanno dimostrate).
$ lim_(x->+oo) (log(x^2+2x) - log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1)))/(e^x-1)=$
$=[lim_(x->+oo) log(x^2+2x)/(e^x-1)]-[lim_(x->+oo)log(1+x^2)(3^(3x-1)-e^(x^2-1))/(e^x-1)]$
Il primo addendo va a $0$, il secondo è il limite del prodotto fra $\log(1+x^2)$ che va a $+\infty$ per $(3^(3x-1)-e^(x^2-1))/(e^x-1)$ che va a $-\infty$ (ovviamente queste cose vanno dimostrate).
"Alfius":
Ma nell'esercizio non compare semplicemente $\log(x^2+2x)-\log(1+x^2)$ a meno che non ti sia dimenticato di riportare qualche parentesi.
si si hai ragione ci sono delle parentesi tra i 2 log...scusami
"MarkNin":
si si hai ragione ci sono delle parentesi tra i 2 log...scusami
Allora il primo passaggio era corretto. Per procedere lasciamo momentaneamente da parte il fattore $\log((x^2+2x)/(1+x^2))$ e ragioniamo sull'altro fattore $(3^{3x-1}-e^{x^2-1})/(e^x-1)$
Se raccogli $e^{x^2-1}$ al numeratore e $e^x$ a denominatore ti accorgi che puoi togliere di mezzo $(3^{3x-1}-e^{x^2-1})/(e^x-1)$ per rimpiazzarlo con un più semplice $-e^{x^2-1}/e^x=-\ e^{x^2-x-1}$
Dopodichè $\log((x^2+2x)/(1+x^2))=\log(1+(2x-1)/(x^2+1))\sim_{x->+oo}(2x-1)/(x^2+1)$
Da qui non dovrebbe essere un problema concludere.
"Alfius":
Se raccogli $e^{x^2-1}$ al numeratore e $e^x$ a denominatore ti accorgi che puoi togliere di mezzo $(3^{3x-1}-e^{x^2-1})/(e^x-1)$ per rimpiazzarlo con un più semplice $-e^{x^2-1}/e^x=-\ e^{x^2-x-1}$
scusami ma mi son bloccato qui come posso andare avanti???
Sul fatto che il limite si sia ridotto a $\lim_{x->+oo}[-\log((x^2+2x)/(1+x^2))e^{x^2-x-1}]$ ci sei?
si si su questo fatto si però forse ho qualcosa sotto gli occhi che non riesco a vedere...tipo qualche proprietà dei log?!
"MarkNin":
si si su questo fatto si però forse ho qualcosa sotto gli occhi che non riesco a vedere...tipo qualche proprietà dei log?!
Devi solo riscriverlo nella forma $\log(1+(2x-1)/(x^2+1))$ e ricordare che $\log(1+h)/h->1$ quando $h->0$
no scusami ma non l'ho capito...gentilmente potresti postarmi tutti i passaggi???
scusami
scusami
Posto un paio di passaggi importanti, però poi vorrei che sia tu a concludere
$\lim_{x->+oo}[-\log((x^2+2x)/(1+x^2))e^{x^2-x-1}]=\lim_{x->+oo}[-\log(1+(2x-1)/(1+x^2))e^{x^2-x-1}]=$
$=\lim_{x->+oo}[-\ \frac{\log(1+(2x-1)/(1+x^2))}{(2x-1)/(1+x^2)}(2x-1)/(1+x^2)e^{x^2-x-1}]=\lim_{x->+oo}[-(2x-1)/(1+x^2)e^{x^2-x-1}]$
Chiedi ancora se non riesci a concludere, però vorrei che prima ci provassi.
$\lim_{x->+oo}[-\log((x^2+2x)/(1+x^2))e^{x^2-x-1}]=\lim_{x->+oo}[-\log(1+(2x-1)/(1+x^2))e^{x^2-x-1}]=$
$=\lim_{x->+oo}[-\ \frac{\log(1+(2x-1)/(1+x^2))}{(2x-1)/(1+x^2)}(2x-1)/(1+x^2)e^{x^2-x-1}]=\lim_{x->+oo}[-(2x-1)/(1+x^2)e^{x^2-x-1}]$
Chiedi ancora se non riesci a concludere, però vorrei che prima ci provassi.
fondamentalmente Alfius si è semplificato il problema mettendolo nella forma di differenza di limiti.
il primo fattore viene zero per questione di ordini di infinito che dovresti conoscere grosso modo.
il secondo fattore invece se lo è semplificato mettendo in evidenza gli elementi di ordine più alto, ciò che non considera è inteso tendere a 0.
invece anche io non capisco $\log((x^2+2x)/(1+x^2))
il primo fattore viene zero per questione di ordini di infinito che dovresti conoscere grosso modo.
il secondo fattore invece se lo è semplificato mettendo in evidenza gli elementi di ordine più alto, ciò che non considera è inteso tendere a 0.
invece anche io non capisco $\log((x^2+2x)/(1+x^2))
"Mrs92":
fondamentalmente Alfius si è semplificato il problema mettendolo nella forma di differenza di limiti.
il primo fattore viene zero per questione di ordini di infinito che dovresti conoscere grosso modo.
il secondo fattore invece se lo è semplificato mettendo in evidenza gli elementi di ordine più alto, ciò che non considera è inteso tendere a 0.
Confermo a parte per il fatto che non mi sono ridotto a somme ma a prodotti, quindi ciò che è sparito dalla formula è la parte che tende a $1$.
"Mrs92":
invece anche io non capisco $\log((x^2+2x)/(1+x^2))$
E' questo il passaggio problematico? Oppure quello dopo, dove il $\log$ sparisce?
$\log((x^2+2x)/(1+x^2))=\log(1+(2x-1)/(x^2+1))$
ok apposto non avevo notato la correzione delle parentesi.... tutto oooookay
ho provato a risolvere:
il primo fattore tende a 0;
il secondo a $-oo$, quindi sono di fronte ad una forma indeterminata....però se considero gli ordini di infinito, al numeratore sono maggiori rispetto a quelli del denominatore quindi per $x->+oo$ ottengo che il "mio limite" tende a $-oo$
è giusto come ragionamento???
il primo fattore tende a 0;
il secondo a $-oo$, quindi sono di fronte ad una forma indeterminata....però se considero gli ordini di infinito, al numeratore sono maggiori rispetto a quelli del denominatore quindi per $x->+oo$ ottengo che il "mio limite" tende a $-oo$
è giusto come ragionamento???
Il ragionamento è corretto.
grazie mille per l'aiuto... 
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