Limite !
$lim_(x->0) log[(1+x)/(1-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) log[(1-x+x+x)/(1-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) log[(1-x)/(1-x)+(2x)/(1-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) log[1+(2x)/(1-x)]^(1/x^2)$
adesso posso capovolgere la frazione cosi da ottenere 1 al denominatore( anche se nn c'è segno meno??) o devo fare una sostituzione ?grazie in anticipo
$lim_(x->0) log[(1-x+x+x)/(1-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) log[(1-x)/(1-x)+(2x)/(1-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) log[1+(2x)/(1-x)]^(1/x^2)$
adesso posso capovolgere la frazione cosi da ottenere 1 al denominatore( anche se nn c'è segno meno??) o devo fare una sostituzione ?grazie in anticipo
Risposte
No, senza il segno meno non puoi. Prova a guardarti le proprietà del logaritmi 
Ciao, non ho capito il fatto della frazione che non si può capovolgere senza il segno meno... Io farei così:
$ lg (1 + (2x)/(1-x))^(((1-x)/(2x))2/(x(1 - x)))$ (era quella all'esponente la frazione che volevi capovolgere?)
$ 2/(x(1 - x)) lg (1 + (2x)/(1-x))^((1-x)/(2x))$
Il limite per $ x rarr 0 $ di $2/(x(1 - x))$ non esiste.
$ lg (1 + (2x)/(1-x))^(((1-x)/(2x))2/(x(1 - x)))$ (era quella all'esponente la frazione che volevi capovolgere?)
$ 2/(x(1 - x)) lg (1 + (2x)/(1-x))^((1-x)/(2x))$
Il limite per $ x rarr 0 $ di $2/(x(1 - x))$ non esiste.
non era quella all'esponente ma quella dentro la quadra :2x/1-x
Beh, usando i cannoni...
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \log \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \log \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr) \) (per proprietà logaritmi)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\log \Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)}{x^2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(1-x)[(1-x) + (1+x)]}{2x(1+x)(1-x)^2} \) (de L'hopital)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x(1+x)(1-x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x\bigl(1-x^2\bigr)} = \frac{1}{0}\) che è \(\displaystyle \pm\infty \) a seconda da dove si arriva.
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \log \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \log \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr) \) (per proprietà logaritmi)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\log \Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)}{x^2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(1-x)[(1-x) + (1+x)]}{2x(1+x)(1-x)^2} \) (de L'hopital)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x(1+x)(1-x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x\bigl(1-x^2\bigr)} = \frac{1}{0}\) che è \(\displaystyle \pm\infty \) a seconda da dove si arriva.
"jitter":
Ciao, non ho capito il fatto della frazione che non si può capovolgere senza il segno meno... Io farei così:
$ lg (1 + (2x)/(1-x))^(((1-x)/(2x))2/(x(1 - x)))$ (era quella all'esponente la frazione che volevi capovolgere?)
$ 2/(x(1 - x)) lg (1 + (2x)/(1-x))^((1-x)/(2x))$
Il limite per $ x rarr 0 $ di $2/(x(1 - x))$ non esiste.
il problema direi più che altro che continui a trovarti nella forma \(\displaystyle \infty\cdot 0^{\infty} \)... In pratica non hai cambiato nulla rispetto all'indeterminazione iniziale.
Vict ma per come è scritto il limite non si dovrebbe fare anche così ( è una mia curiosità personale 
)?
$lim_(x->0) [log((1+x)/(1-x))]^(1/x^2)$
Per le proprietà dei logaritmi:
$lim_(x->0) [log(1+x)-log(1-x)]^(1/x^2)$
Per $x->0$, $log(1+x)\sim x$, quindi:
$lim_(x->0) [x-(-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) (2x)^(1/x^2)$
Mi trovo in una forma del tipo $0^(infty)$
$lim_(x->0) [e^((1/x^2)log(2x))]$
L'esponente $->-infty$ quindi:
$lim_(x->0) [log((1+x)/(1-x))]^(1/x^2)=0$
)?$lim_(x->0) [log((1+x)/(1-x))]^(1/x^2)$
Per le proprietà dei logaritmi:
$lim_(x->0) [log(1+x)-log(1-x)]^(1/x^2)$
Per $x->0$, $log(1+x)\sim x$, quindi:
$lim_(x->0) [x-(-x)]^(1/x^2)$
$lim_(x->0) (2x)^(1/x^2)$
Mi trovo in una forma del tipo $0^(infty)$
$lim_(x->0) [e^((1/x^2)log(2x))]$
L'esponente $->-infty$ quindi:
$lim_(x->0) [log((1+x)/(1-x))]^(1/x^2)=0$
scusa se mi intrometto non mi sono messo a fare il limite ma obidream non puoi applicare lo sviluppo di Mclauren in un caso del genere
Ma l'esponente è sull'argomento o sul logaritmo?
Come mai? Considera che il limite viene completamente diverso se ho $lim_(x->0) log((1+x)/(1-x))^(1/x^2)$ mentre io ho considerato $lim_(x->0) [log((1-x)/(1+x))]^(1/x^2)$...
@Vict: in effetti Luca non ha specificato chiudendo le parentesi o meno... è un bel problema Comunque penso sia compreso nell'argomento come avevi inteso tu..
@Vict: in effetti Luca non ha specificato chiudendo le parentesi o meno... è un bel problema
Comunque penso sia compreso nell'argomento come avevi inteso tu..
io non mi trovo...portandolo nella forma e^.... mi ritrovo con un ordine di infinitesimo al denominatore di ordine 2,mentre sopra è ordine 1 quindi il limite mi fà più infinito..però l'ho fatto un'pò così alla svelta...comunque secondo me in questi casi usare trucchetti o manipolazioni algebriche non serve a niente anzi porta a cattive strade...io preferisco usare brutalmente gli infinitesimi..saluti
Eppure anche Wolfram sembra confermare..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E0
Anche se è più affidabile la gente che frequenta il forum
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +as+x-%3E0
Anche se è più affidabile la gente che frequenta il forum
cavolo mi ero scordato il log...ci credo che non mi tornava,cmq davvero il teorema delle funzioni equivalenti sul mio libro c'è scritto che si può usare solo nel limite di rapporti e prodotti
Uhm non ti so dire, a me hanno insegnato che: $f \sim g$ per $x->\beta$ se $f-g=o(g)$ per $x->\beta$
Inoltre nella tabella degli sviluppi notevoli mi trovo questo:
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...+x^n/n+o(x^n)$ per $x->0$
Quindi se mi fermo al primo ordine ho: $log(1+x) \sim x$ per $x->0$, ovvero $log(1+x)-x=o(x)$ per $x->0$
Inoltre nella tabella degli sviluppi notevoli mi trovo questo:
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...+x^n/n+o(x^n)$ per $x->0$
Quindi se mi fermo al primo ordine ho: $log(1+x) \sim x$ per $x->0$, ovvero $log(1+x)-x=o(x)$ per $x->0$
booh sono andato a ricontrollare c'è scritto solo per prodotto e rapporto,cioè poi non è detto che se uno li utilizza altrove non torni...in effetti c'è scritto che non si può applicare alla somma,dell'esponenziale non c'è scritto niente quindi magari è una dimenticanza e si può usare.. sarei curioso qualche altra opinione
Ciao. Io proverei così:
[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow 0}\ln\left ( \frac{1-x+2x}{1-x} \right )^{\frac{1}{x^2}}=
\lim_{x\rightarrow 0}\ln\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}\cdot \frac{2x}{1-x}\cdot \frac{1}{x^2}}=[/tex][/size]
[size=120][tex]=\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{2\not{x}}{1-x}\cdot \frac{1}{x^{\not{2}}}\ln\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}} \right ][/tex](*)[tex]=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2}{x(1-x)}=\infty[/tex][/size],
avendo usato qui (*) il fatto che:__[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow 0}\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}}=\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{t}=e[/tex][/size]
per cui il logaritmo nell'espressione precedente il (*) tende a $1$.
[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow 0}\ln\left ( \frac{1-x+2x}{1-x} \right )^{\frac{1}{x^2}}=
\lim_{x\rightarrow 0}\ln\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}\cdot \frac{2x}{1-x}\cdot \frac{1}{x^2}}=[/tex][/size]
[size=120][tex]=\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{2\not{x}}{1-x}\cdot \frac{1}{x^{\not{2}}}\ln\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}} \right ][/tex](*)[tex]=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2}{x(1-x)}=\infty[/tex][/size],
avendo usato qui (*) il fatto che:__[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow 0}\left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{\frac{1-x}{2x}}=\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{t}=e[/tex][/size]
per cui il logaritmo nell'espressione precedente il (*) tende a $1$.
Ciao Pallitt, in questo caso, siccome
$ lim_(x -> 0^+) 2/(x(1 - x)) = + oo $ , ma
$ lim_(x -> 0^-) 2/(x(1 - x)) = - oo $ , non bisognerebbe dire che il limite per $x -> 0$ non esiste?
$ lim_(x -> 0^+) 2/(x(1 - x)) = + oo $ , ma
$ lim_(x -> 0^-) 2/(x(1 - x)) = - oo $ , non bisognerebbe dire che il limite per $x -> 0$ non esiste?
Si, ma esistono i limiti destro e sinistro e quindi vale la pena farlo notare.
Mah, non ho ben capito gli ultimi due post, di jitter e vict85, che con l'occasione saluto, ma forse è un mio limite , se mi permettete il gioco di parole.
Mi pare che dalla definizione di limite, affermare che:_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty[/tex]_equivalga ad affermare che in un opportuno intorno di $a$ (escluso $a$) sia $|f(x)|>M, \forall M>0$ il che il più delle volte (e questa mi sembra una di quelle volte) corrisponde a
considerare: _[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty[/tex]_ equivalente a:_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty[/tex]_[tex]\vee[/tex]_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty[/tex].
Ad esempio, per quanto ne so io: è scorretto affermare che [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=+\infty[/tex] , mentre è corretto il fatto che [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty[/tex],
dato che in un opportuno intorno $U(0)$ di zero (zero escluso) è $| \frac{1}{x} |>M$ _[tex]\forall M>0[/tex].
Sbaglio io?
, se mi permettete il gioco di parole.Mi pare che dalla definizione di limite, affermare che:_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty[/tex]_equivalga ad affermare che in un opportuno intorno di $a$ (escluso $a$) sia $|f(x)|>M, \forall M>0$ il che il più delle volte (e questa mi sembra una di quelle volte) corrisponde a
considerare: _[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty[/tex]_ equivalente a:_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty[/tex]_[tex]\vee[/tex]_[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty[/tex].
Ad esempio, per quanto ne so io: è scorretto affermare che [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=+\infty[/tex] , mentre è corretto il fatto che [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty[/tex],
dato che in un opportuno intorno $U(0)$ di zero (zero escluso) è $| \frac{1}{x} |>M$ _[tex]\forall M>0[/tex].
Sbaglio io?
Salute a te Palliit 
Mi sembra giusto quello che dici, anche se io avrei scritto che $ lim_(x -> 0) 1/x $ non esiste. Credo che concettualmente "l'abbiamo capita allo stesso modo", ma usiamo una terminologia diversa: quando i limiti destro e sinistro sono diversi (uno $+oo$" e l'altro "$-oo$"), tu usi l'"$oo$" senza segno, io scrivo "non esiste". Com'è la pratica corrente, in realtà, non lo so perché non ho ripreso da molto tempo queste cose. Ciao.
Mi sembra giusto quello che dici, anche se io avrei scritto che $ lim_(x -> 0) 1/x $ non esiste. Credo che concettualmente "l'abbiamo capita allo stesso modo", ma usiamo una terminologia diversa: quando i limiti destro e sinistro sono diversi (uno $+oo$" e l'altro "$-oo$"), tu usi l'"$oo$" senza segno, io scrivo "non esiste". Com'è la pratica corrente, in realtà, non lo so perché non ho ripreso da molto tempo queste cose. Ciao.
Ciao jitter! Quello che dici mi pare corretto nel caso che il limite sia finito (e ovviamente non nullo).
Per fare un esempio banale: è corretto dire che non esiste il [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}[/tex] perchè i limiti destro e sinistro sono rispettivamente $\pm 1$ mentre un limite uguale a zero o a $\infty$ permette questo tipo di conclusione. Sempre che non mi sbagli, ovviamente.
Per fare un esempio banale: è corretto dire che non esiste il [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}[/tex] perchè i limiti destro e sinistro sono rispettivamente $\pm 1$ mentre un limite uguale a zero o a $\infty$ permette questo tipo di conclusione. Sempre che non mi sbagli, ovviamente.
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