Limite

[yex1]

Salve ragazzi,
Pochi giorni fa ho partecipato a uno degli appelli di analisi uno e mi sono imbattuto su questo limite:
lim x->+inf (e^(square root (x+1))/(e^(square root x)+1))
al professore,con una serie di ragionamento alquanto ambigui,gli veniva 1.
Sinceramente non capisco il motivo!
Qualcuno gentilmente mi può aiutare?

[Gi81]

Se non ho capito male, il limite è questo:\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\sqrt{x+1}}}{e^{\sqrt{ x}}+1}
\]
giusto?

[Plepp]

Ciao. Io procederei, ad esempio, in questo modo:
\[\lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{x+1}} } {e^{\sqrt{x} +1}} =\lim_{x\to+\infty} e^{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}-1}\]
Quindi calcoli solo il limite per $x to + infty$ dell'esponente, che ti viene 0 (dimmi se non ti è chiaro il perchè). E vabè poi $e^0=1$...

[Covenant]

Usa le formule apposite altrimenti si capisce poco.

Comunque dovrebbe essere: $lim_(xto+oo) (e^(sqrt(x+1)))/(e^(sqrtx)+1)$. Puoi dire che quando $xto+oo$ allora $sqrt(x+1) \sim sqrtx$, inoltre: $e^sqrtx+1 \sim e^sqrtx$ (intendendo dire con $\sim$ che sono infiniti dello stesso ordine). Per il principio di sostituzione degli infiniti hai che: $lim_(xto+oo) (e^(sqrt(x+1)))/(e^(sqrtx)+1) = lim_(xto+oo) e^sqrtx/e^sqrtx = 1$.