Limite

[valeriadecaro]

sto prvando a risolverequesto limite

[MrMeaccia]

$lim_(x->a) ( 1+6(senx^2)^x(log (1+10^x))/x)$ con $a=0,+oo,-oo$ (è questo il limite?)

[valeriadecaro]

si si è quello!

[valeriadecaro]

no no scusami è 1+6(senx/x^2)^x

[MrMeaccia]

$lim_(x->a) ( 1+6((senx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)$ con $a=0,+oo,-oo$ (così?)

[valeriadecaro]

si si scusami!

[MrMeaccia]

$lim_(x->a) ( 1+6((senx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)$ con $a=+oo$
intanto la costante la porti fuori e scrivi $1+ 6*lim_(x->+oo) ( ((senx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)$
poi $log(1+10^x)=log[10^x(1/(10^x)+1)]=log(10^x)+log(1/(10^x)+1)$ che per $x->+oo$ è $log(10^x)=x log 10 = x *1$
quindi il fattore con logaritmo diventa $(log (1+10^x))/x=x/x=1 -> 1$.

$((senx)/x^2)^x = sin^x x/(x^(2x))$ che direi che tende a 0.. quindi in sostanza il limite è 1 per x->+oo

[ciampax]

"MrMeaccia":
$((senx)/x^2)^x = sin^x x/(x^(2x))$ che direi che tende a 0.. quindi in sostanza il limite è 1 per x->+oo

Sarei tanto curioso di capire come hai fatto a fare sta cosa!

[valeriadecaro]

ok hocapito tutto tranne quella cosa del seno

[MrMeaccia]

"ciampax":[quote="MrMeaccia"]
$((senx)/x^2)^x = sin^x x/(x^(2x))$ che direi che tende a 0.. quindi in sostanza il limite è 1 per x->+oo

Sarei tanto curioso di capire come hai fatto a fare sta cosa! [/quote]
con un magico errore di battitura!
$((senx)/x^2)^x =( sin^x x)/(x^(2x))$

[ciampax]

Forse non hai capito: non intendevo quella cosa... come fai a calcolare quel limite, volevo sapere. Perché non è proprio una cosa semplice semplice.

[valeriadecaro]

ok grazie mille!

[MrMeaccia]

sinx è limitata quindi è come scrivere per $x->+oo$ .. $(1/x^2)^x=1^x/x^(2x)$ che tende a zero perchè il denominatore è un infinito maggiore!
..però ora che ci penso 1^x è una forma indeterminata..
allora poteri usare de L'Hopital?

[ciampax]

Ragionamento giusto, metodo di scrivere le cose terribile!

$|{\sin x}/{x^2}|<1/x^2$

pertanto $|({\sin x}/x^2)^x|<1/x^{2x}\to 0$ per $x\to+\infty$: infatti $\lim_{x\to+\infty} 1/{x^{2x}}=\lim_{x\to +\infty} e^{-2x\log x}=0$.

Ora voglio veddere come ragioni in zero e $-\infty$ (dove quest'ultima cosa non la puoi usare!)

[MrMeaccia]

Hai ragione, cercerò di essere più preciso nello scrivere!
Ho finito ora il
$lim_(x->-oo)( 1+6((sinx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)$

Ho posto $x=-t$ e ho scritto
$lim_(t->oo)( 1+6((sin(-t))/t^2)^(-t) *(log (1+10^(-t)))/-t)=lim_(t->oo)( 1+6(t^2/(-sin(t)))^(t) *(log (1+1/10^(t)))/-t)$
Noto che c'è una forma indeterminata del tipo $+oo*0/-oo$
Visto che (dentro il logaritmo) $1/10^(t) ->0 $ quando $ t->+oo$ faccio lo sviluppo di Taylor del logaritmo e ottengo:
$log (1+1/10^(t))/-t ~~ (1/10^(t)-1/(2*10^(2t)))*1/-t$;
Adesso ho :
$lim_(t->oo) 1+6(t^2/(-sin t))^(t) *(1/-t)(1/10^(t)-1/(2*10^(2t)))=$
$=lim_(t->oo) 1-6(t^t/(-sin^t t)) *(1/10^(t)-1/(2*10^(2t)))$ ;
anche qua $-1<= sin t <= 1$ e per $t->+oo$ si ha che $-1<= sin^t t <= 1$ e, (se quello che ho scritto è giusto) posso scrivere
$lim_(t->oo) 1-6(t^t/(-sin^t t)) *(1/10^(t)-1/(2*10^(2t)))=lim_(t->oo) 1+6t^t *(1/10^(t)-1/(2*10^(2t)))$
$=1+ 6lim_(t->oo) (t^t /10^(t)-t^t /(2*10^(2t)))=+oo$

Mentre il
$lim_(x->0)( 1+6((sinx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)$

$lim_(x->0)( 1+6((sinx)/x^2)^x *(log (1+10^x))/x)=1+6lim_(x->0)((sinx)/x)^x *1/x^x *(log (2))/x$
$=1+6log (2)lim_(x->0) 1^x *1/x^x* 1/x=1+6log (2)lim_(x->0) 1 *1* 1/x=+oo$
avendo usato i limito notevoli
$lim_(x->0) (sinx)/x) = 1$
$lim_(x->0) (1/x^x) = 1$

Però non sono sicuro al 100%!