Limite
Ciao a tutti ,vorrei qualche suggerimento su come risolvere questo limite..
$ lim_(x -> 0^+) ((4^x+9^x)/2)^(1/x ) $
so che mi trovo davanti alla foma indeterminata $1^oo$,provo quindi a lavorarci,ma non ho risolto.
Ho provato a risolverli separatamente..
$ lim_(x -> 0^+) ((4^x+9^x)*1/2)^(1/x ) $
come prodotto di limite
$ lim_(x -> 0^+) (4^x+9^x)^(1/x ) $ * $ lim_(x -> 0^+) (1/2)^(1/x ) $,ma non risolvo niente...
Grazie
$ lim_(x -> 0^+) ((4^x+9^x)/2)^(1/x ) $
so che mi trovo davanti alla foma indeterminata $1^oo$,provo quindi a lavorarci,ma non ho risolto.
Ho provato a risolverli separatamente..
$ lim_(x -> 0^+) ((4^x+9^x)*1/2)^(1/x ) $
come prodotto di limite
$ lim_(x -> 0^+) (4^x+9^x)^(1/x ) $ * $ lim_(x -> 0^+) (1/2)^(1/x ) $,ma non risolvo niente...
Grazie
Risposte
Prova a scrivere la funzione come
$({4^x+9^x}/2)^{1/x}=e^{1/x \log({4^x+9^x}/2)}$
e ragione con limiti notevoli e/o confronto locale.
$({4^x+9^x}/2)^{1/x}=e^{1/x \log({4^x+9^x}/2)}$
e ragione con limiti notevoli e/o confronto locale.
Hai le soluzioni? Perchè prima di confondere le idee vorrei capire se ho seguito un ragionamento corretto.
A me viene come risultato $+\infty$, eppure sono convinto che sia un risultato del tipo $e^b$, per qualche $b\in\RR$, a giudicare dalla forma del limite.
A me viene come risultato $+\infty$, eppure sono convinto che sia un risultato del tipo $e^b$, per qualche $b\in\RR$, a giudicare dalla forma del limite.
Il valore del limite è finito.
Ok mi è tornato un risultato attendibile.
$\lim_{x\to0^{+}}(\frac(4^{x}+9^{x})(2))^{\frac(1)(x)}=\lim_{x\to0^{+}}e^{\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}=e^{\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}$
Quindi ti riconduci allo studio di: $\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$
Consideri $f(x)=log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$ e $g(x)=x$ e hai $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f(x))(g(x))$
Puoi applicare quindi De l'Hopital, e ottieni $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f'(x))(g'(x))=\lim_{x\to0^{+}}f'(x)$
Di li in poi.......
[A me viene $6$]
$\lim_{x\to0^{+}}(\frac(4^{x}+9^{x})(2))^{\frac(1)(x)}=\lim_{x\to0^{+}}e^{\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}=e^{\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}$
Quindi ti riconduci allo studio di: $\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$
Consideri $f(x)=log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$ e $g(x)=x$ e hai $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f(x))(g(x))$
Puoi applicare quindi De l'Hopital, e ottieni $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f'(x))(g'(x))=\lim_{x\to0^{+}}f'(x)$
Di li in poi.......
[A me viene $6$]
Ma perché usare de l'Hopital? E' più semplice con i confronti locali. Il risultato è corretto comunque.
"Nomadje":
Ok mi è tornato un risultato attendibile.
$\lim_{x\to0^{+}}(\frac(4^{x}+9^{x})(2))^{\frac(1)(x)}=\lim_{x\to0^{+}}e^{\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}=e^{\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))}$
Quindi ti riconduci allo studio di: $\lim_{x\to0^{+}}\frac(1)(x)log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$
Consideri $f(x)=log(\frac(4^{x}+9^{x})(2))$ e $g(x)=x$ e hai $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f(x))(g(x))$
Puoi applicare quindi De l'Hopital, e ottieni $\lim_{x\to0^{+}}\frac(f'(x))(g'(x))=\lim_{x\to0^{+}}f'(x)$
Di li in poi.......
[A me viene $6$]
viene 6 infatti..
In questo modo mi torna infatti ottengo..
$ lim x->0 (4^xlog(4)+9^xlog(9))/(4^x+9^x) $
$ log(6) $ --> $ e^log(6) $ -->6
"ciampax":
Prova a scrivere la funzione come
$({4^x+9^x}/2)^{1/x}=e^{1/x \log({4^x+9^x}/2)}$
e ragione con limiti notevoli e/o confronto locale.
riguardo i limiti notevoli non mi viene niente che riguardi una situzione del tipo log(1+a^x),con un esponenziale in base a..
$a^x\sim 1+x\log a$ per $x\to 0$.
"ciampax":
$a^x\sim 1+x\log a$ per $x\to 0$.
ottimo adesso mi é chiaro,grazie mille!!
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