Limite

[sradesca]

ragazzi ho difficoltà con questo $\lim_{n \to \infty}(n^2)*(2^n)/(3^n)$
so che è facile ma non mi viene in mente niente per risolvere questa forma indeterminata $0*infty$ o $infty/infty$;
help?
questo invece è giusto? $\lim_{n \to \infty}(1+1/n^2)^n)=$ $\lim_{a \to \infty}(1+1/a)^(a^(1/2))=sqrt(e)$

[Seneca1]

$\lim_{n \to \infty}(n^2)*(2^n)/(3^n) = \lim_{n \to \infty} (n^2)/(3/2)^n$

Ponendo $3/2 = a > 1$ :

$= \lim_{n \to \infty} n^2/a^n = 0$ (immagino che tu sappia che un infinito di ordine esponenziale "vince" su uno di ordine polinomiale...)

[sradesca]

grazie

[sradesca]

avrei un altro dubbio oltre al secondo esposto: visto che non esiste il $\lim_(ntoinfty) sin(n)$ come si calcolano quei limiti in cui è presente questa forma? ad esempio come si calcola $\lim_(ntoinfty) (sqrt(n+1)*sen(n!))/n?$

[digimon1]

Basta porre il valore arbitrario y=1/x. Se x tende ad infinito, per questa sostituzione y tende a 0.

Di qui a poco è semplice comprendere che puoi applicare il classico limite notevole sen(x)/(x)=1 e risolvere il limite con gli altri limiti notevoli "concessi" con y tendente a 0.

Se hai problemi o non sono stato chiaro, posta pure.

Ciao!

[dissonance]

@digimon: Ma non mi pare il caso. Qui infatti l'argomento del seno diverge, quindi non c'è nessuna speranza di applicare il limite notevole che citi. In questo caso è meglio decomporre la successione in un prodotto

\[\frac{\sqrt{n+1}}{n} \cdot \sin(n!)\]

e analizzare i due fattori separatamente: infatti uno è infinitesimo e l'altro è limitato.

[sradesca]

quindi è infinitesima grazie mille