Limite
Mi servirebbe una mano con questo limite:
$\lim_{x\to 0}frac{log(\frac{e^{2x}+1}{e^x+1})}{x+\arctan2x}$
l'unico passaggio che riesco a fare è quello di eliminare il logaritmo aggiungendo e sottraendo 1 all'interno dell'argomento ottenendo questo :
$\lim_{x\to 0}frac{\frac{e^{2x}+1}{e^x+1}-1}{x+\arctan2x}$
$\lim_{x\to 0}frac{log(\frac{e^{2x}+1}{e^x+1})}{x+\arctan2x}$
l'unico passaggio che riesco a fare è quello di eliminare il logaritmo aggiungendo e sottraendo 1 all'interno dell'argomento ottenendo questo :
$\lim_{x\to 0}frac{\frac{e^{2x}+1}{e^x+1}-1}{x+\arctan2x}$
Risposte
$\lim_{x\to 0}frac{log(\frac{e^{2x}+1}{e^x+1})}{x+\arctanx} = \lim_{x\to 0} frac{log(e^{2x}+1) - log({e^x+1})}{x+\arctanx}$
E a questo punto utilizza De L'Hospital.
E a questo punto utilizza De L'Hospital.
Se possibile vorrei risolverlo senza 
è possibile ?
è possibile ?
Sì. Poiché $x + arctan(x) sim 2x$ puoi scrivere il tuo limite come:
$lim_(x -> 0) ((e^(2x)+1)/(e^x + 1) - 1)/(2x)$
Facendo i conti a numeratore dovresti essere in grado di risolverlo facilmente. Prova...
$lim_(x -> 0) ((e^(2x)+1)/(e^x + 1) - 1)/(2x)$
Facendo i conti a numeratore dovresti essere in grado di risolverlo facilmente. Prova...
Ho risolto in questo modo :
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{2x (e^x+1)} $ = $1/4$ ma il risultato dovrebbe essere 1/6.
[EDIT: avevo sbagliato la traccia era arctan(2x) l'approssimazione la posso fare cmq ?]
Domanda: ma il metodo dell'approssimazione lo posso utilizzare ogni volta che ho una specie di lim notevole ?
Mi spiego :
$lim_{x\to \pi} \frac{\sqrt{1+2x+2\pi}-(1+sin[arctan(x-\pi)^3])^{1/3}}{sin(5x)}$
posso approssimare :
$\sqrt{1+2x+2\pi} \sim 1$ ?
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{2x (e^x+1)} $ = $1/4$ ma il risultato dovrebbe essere 1/6.
[EDIT: avevo sbagliato la traccia era arctan(2x) l'approssimazione la posso fare cmq ?]
Domanda: ma il metodo dell'approssimazione lo posso utilizzare ogni volta che ho una specie di lim notevole ?
Mi spiego :
$lim_{x\to \pi} \frac{\sqrt{1+2x+2\pi}-(1+sin[arctan(x-\pi)^3])^{1/3}}{sin(5x)}$
posso approssimare :
$\sqrt{1+2x+2\pi} \sim 1$ ?
C'è un errore nelle soluzioni..è giusto $1/4$
Correggo: con $arctan(x)$ è giusto $1/4$, con $arctan(2x)$ il risultato è $1/6$
"Ryuzaky*":
[EDIT: avevo sbagliato la traccia era arctan(2x) l'approssimazione la posso fare cmq ?]
Sì, ma logicamente viene $3x$ a denominatore.
Domanda: ma il metodo dell'approssimazione lo posso utilizzare ogni volta che ho una specie di lim notevole ?
Mi spiego :
$lim_{x\to \pi} \frac{\sqrt{1+2x+2\pi}-(1+sin[arctan(x-\pi)^3])^{1/3}}{sin(5x)}$
posso approssimare :
$\sqrt{1+2x+2\pi} \sim 1$ ?
No. Non puoi.
Immagino che l'approssimazione dell arcatan la posso fare perche per valori prossimi a 0 i valori siano pressochè simili, cosi come nel caso delle funzioni sin, tan e arcsin, giusto ?
Al secondo esercizio perche non posso fare questa approssimazione ? come devo invece procedere ?
Al secondo esercizio perche non posso fare questa approssimazione ? come devo invece procedere ?
L'infinitesimo è TUTTO il numeratore. Se vuoi applicare il principio di sostituzione degli infinitesimi devi considerarlo "in blocco".
$lim_{x\to \pi} \frac{-((1+sin[arctan(x-\pi)^3])^(1/3)-\sqrt(1+2x+2\pi))}{sin5x}$$\cdot \frac{sin[arctan(x-\pi)^3]}{sin[arctan(x-\pi)^3]}$$\cdot\frac{arctan(x-\pi)^3}{arctan(x-\pi)^3}$$\cdot\frac{(x-\pi)^3}{(x-\pi)^3}$
Cosi ?
$\lim_(x\to \pi) -\frac{(x-\pi)^3}{sin5x}$
Cosi ?
$\lim_(x\to \pi) -\frac{(x-\pi)^3}{sin5x}$
Non vorrei sbagliare, ma sotto la radice non dovrebbe esserci $-2\pi$? Perché così come è scritto non risulta una forma indeterminata.
poi non capisco una cosa. Perché non ragionare direttamente per confronti locali? Senza far comparire esplicitamente i "pezzi" che servono per il limite notevole? Voglio dire la cosa seguente: se $\epsilon(t)$ è una funzione tale che $\lim_{t\to t_0}\epsilon(t)=0$ allora si sa che (per $t\to t_0$)
$\sin(\epsilon(t))\sim\epsilon(t),\qquad \arctan(\epsilon(t))\sim\epsilon(t),\qquad (1+\epsilon(t))^\alpha\sim 1+\alpha \epsilon(t)$
poi non capisco una cosa. Perché non ragionare direttamente per confronti locali? Senza far comparire esplicitamente i "pezzi" che servono per il limite notevole? Voglio dire la cosa seguente: se $\epsilon(t)$ è una funzione tale che $\lim_{t\to t_0}\epsilon(t)=0$ allora si sa che (per $t\to t_0$)
$\sin(\epsilon(t))\sim\epsilon(t),\qquad \arctan(\epsilon(t))\sim\epsilon(t),\qquad (1+\epsilon(t))^\alpha\sim 1+\alpha \epsilon(t)$
In effetti è vero... Qui non hai problemi ad usare gli sviluppi asintotici troncati al prim'ordine perché a numeratore hai la differenza di due infinitesimi che non sono neanche dello stesso ordine. Quindi la mia osservazione di ieri non riguarda questo genere di limiti.
"Seneca":
In effetti è vero... Qui non hai problemi ad usare gli sviluppi asintotici troncati al prim'ordine perché a numeratore hai la differenza di due infinitesimi che non sono neanche dello stesso ordine. Quindi la mia osservazione di ieri non riguarda questo genere di limiti.
Chiedo scusa
non ho capito questa affermazione potresti spiegarti meglio ?Già che ci sono ho un altra cosa da chiedere:
\(\displaystyle
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(\sin e^{\frac{1-3x^2}{x+5}})^{\frac{3x-2}{2x^3+1}} \)
Ho trasformato il limite come segue:
$\lim_{x\to-\infty} e^{\frac{3x-2}{2x^3+1}\cdot \log(\sin e^{\frac{1-3x^2}{x+5}})}$
è corretto dire che la quantità $\log(\sin e^{\frac{1-3x^2}{x+5}})$ è limitata e che quindi la quantità che conta è :
$\lim_{x\to-\infty} e^{\frac{3x-2}{2x^3+1}}$ ??
Nessun suggerimento ? :/
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