Limite

[danielev.91]

sto studiando la convergenza puntuale della serie (da 1 a $infty$) di $((x^(2n))/n)*ln(1+((x^2)/(sqrt(n))))$
dal libro leggo che per x=0 converge puntualmente in 0
per x$!=$0 dal criterio del rapporto ho questo limite

$\lim_{n \to \+infty}((((x^(2n+2))/(n+1))*ln(1+(x^2/sqrt(n+1))))/(((x^(2n))/n)*(ln(1+((x^2)/(sqrt(n)))))))$

mi potreste indicare la soluzione a questo limite, e come raggiungerla??
e in generale come ragionare con questi tipi di limiti?

inoltre è possibile studiare la convergenza puntuale di una serie anche con i criteri per le serie numeriche?? e non solo con questa formula: $\lim_{n \to \+infty} (f_n(x))=f(x)$ ???
p.s. scusate se ho scritto male le formule ma è la prima volta
grazie

[robbstark1]

Puoi usare l'equivalenza $log(1+y) sim y$ per $y to 0$:
$\lim_{n \to \+infty}((((x^(2n+2))/(n+1))*ln(1+(x^2/sqrt(n+1))))/(((x^(2n))/n)*(ln(1+((x^2)/(sqrt(n)))))))=
=\lim_{n \to \+infty} n/(n+1) (x^(2n+2))/(x^(2n)) (x^2)/(sqrt(n+1)) (sqrt n)/(x^2) = x^2$

La $x$ la consideri come una costante qualsiasi, quindi è come se avessi a che fare con una serie numerica. L'unica complicazione è che alcuni valori della $x$ potrebbero creare problemi, ad esempio qui se $x=0$ non potresti usare il rapporto, ma devi studiarlo a parte, come hai fatto.