Limite

[Ryuzaky*]

Come si può "dimostrare" che :

$lim_{x\rightarrow0^+}1/x=+\infty$
$lim_{x\rightarrow0^-}1/x=-\infty$

[Seneca1]

Con la definizione di limite...

[Gi81]

Il secondo limite fa $1$, non $-oo$
Ma forse hai sbagliato a scrivere...

[Ryuzaky*]

"Seneca":Con la definizione di limite...

Ma è indipendente dalla funzione che sto considerando ?
cioè, se fosse stato $x^3$ o qualsiasi altra funzione che tente a $-infty$ sarebbe bastata lo stesso la definizione di limite ?

[Seneca1]

Vedi, se dimostri che il limite per $x -> 0^+$ di $1/x$ è $+oo$, allora puoi usare i teoremi sui limiti (p.es. quello del prodotto) per dedurre che $lim_(x -> 0^+) 1/x^2 = lim_(x -> 0^+) 1/x * 1/x = +oo$. O, per induzione, che $lim_(x -> 0^+) 1/x^n = +oo$ , comunque fissato $n in NN$.

Analogamente il caso del limite per $x -> 0^-$.

[Ryuzaky*]

Il fatto è questo :/ conosco la dimostrazione generale dei teoremi del confronto con somma prodotto ecc ma non so come includere questa particolare funzione (cioè $1/x$) nella mia dimostrazione

[Seneca1]

"Ryuzaky*":Il fatto è questo :/ conosco la dimostrazione generale dei teoremi del confronto con somma prodotto ecc ma non so come includere questa particolare funzione (cioè $1/x$) nella mia dimostrazione

Dovresti aver fatto il teorema che stabilisce che il prodotto di due infiniti è ancora un infinito, cioè se $f(x) -> +oo$ , $g(x) -> +oo$ per $x -> x_0$ allora $f(x) g(x) -> +oo$ per $x -> x_0$.

Per dimostrare che $lim_(x -> 0^+) 1/x^n = +oo$ , $AA n in NN - {0}$ utilizzi proprio questo risultato; è semplicissimo:

Dim:

Per induzione, se $n = 1$ , $AA M > 0 $ , $EE delta > 0$ t.c. $AA x in (0, delta)$ sia $1/x > M$.

Pasta prendere $0 < x < 1/M$ per concludere che $lim_(x -> 0^+) 1/x = +oo$ (base dell'induzione).

Supponi valga $lim_(x -> 0^+) 1/x^n = +oo$. Devi provare che $lim_(x -> 0^+) 1/x^(n+1) = +oo$.

$lim_(x -> 0^+) 1/x^(n+1) = lim_(x -> 0^+) 1/x^n * 1/x = +oo$. Per il teorema che ti ho riportato hai che, essendo $1/x -> +oo$ , $1/x^n -> +oo$ (per l'ipotesi induttiva), vale che il prodotto ha limite $+oo$.


Morale della favola: dimostrare che $1/x$ ha limite $+oo$ per $x -> 0^+$ è banale. Se però devi verificare che $lim_(x -> 0^+) (log(x))/x^(68) = +oo$, usare la definzione di limite pura è semplice è poco saggio (lo fai con quei due risultati che ti ho accennato).

[Ryuzaky*]

"Seneca":
Pasta prendere $0 < x < 1/M$ per concludere che $lim_(x -> 0^+) 1/x = +oo$ (base dell'induzione).

Chiedo scusa questo passaggio non mi è chiaro

[Seneca1]

Dato $M$ arbitrariamente, in corrispondenza riesci a determinare $delta$ tale che eccetera eccetera... ?

Se scegli $delta = 1/M$ , tutto funziona. Allora il limite è proprio $+oo$.