Limite
Salve, mi occorrerebbe una mano con questo limite:
[tex]\lim_{x\to + \infty}{\sqrt{2+9^{x}}(\sqrt{1+9^{x}}-3^{x})}[/tex]
Io ho provato così:
[tex]2+9^{x}\sim9^{x}
\sqrt{2+9^{x}}\sim\sqrt{9^{x}}=3^{x}
\sqrt{1+9^{x}}\sim\sqrt{9^{x}}=3^{x}
lim [..] = 3^{x}(3^{x} - 3^{x}) = 3^{2x} - 3^{2x} = 0[/tex]
Ma il computer mi dà come risultato $1/2$ (non ho le soluzioni). Credo sia dovuto a quel '2' che, trascurandolo, commetto un'approssimazione "peggiore" nel termine fuori dalla parentesi rispetto a quello dentro la parentesi. Potete darmi un suggerimento e spiegarmi di preciso dove sbaglio? Non posso usare De L'Hopital nè gli sviluppi in serie.
[tex]\lim_{x\to + \infty}{\sqrt{2+9^{x}}(\sqrt{1+9^{x}}-3^{x})}[/tex]
Io ho provato così:
[tex]2+9^{x}\sim9^{x}
\sqrt{2+9^{x}}\sim\sqrt{9^{x}}=3^{x}
\sqrt{1+9^{x}}\sim\sqrt{9^{x}}=3^{x}
lim [..] = 3^{x}(3^{x} - 3^{x}) = 3^{2x} - 3^{2x} = 0[/tex]
Ma il computer mi dà come risultato $1/2$ (non ho le soluzioni). Credo sia dovuto a quel '2' che, trascurandolo, commetto un'approssimazione "peggiore" nel termine fuori dalla parentesi rispetto a quello dentro la parentesi. Potete darmi un suggerimento e spiegarmi di preciso dove sbaglio? Non posso usare De L'Hopital nè gli sviluppi in serie.
Risposte
E invece il risultato è proprio [tex]0[/tex] , quale computer ti da' quel risultato?
Ti ringrazio per la risposta.
Non so se hai notato ma avevo sbagliato a scrivere il limite. Il primo termine non è $sqrt(2+9x)$ ma è $sqrt(2+9^x)$. L'ho corretto quasi subito, non so se hai fatto in tempo a vedere la correzione. Ho fatto fare i calcoli a Maple 15
Non so se hai notato ma avevo sbagliato a scrivere il limite. Il primo termine non è $sqrt(2+9x)$ ma è $sqrt(2+9^x)$. L'ho corretto quasi subito, non so se hai fatto in tempo a vedere la correzione. Ho fatto fare i calcoli a Maple 15
"raffamaiden":
lim [..] = 3^{x}(3^{x} - 3^{x}) = 3^{2x} - 3^{2x} = 0
Non va per niente bene questa approssimazione.
Scrivi [tex]$9^x$[/tex] come [tex]$3^{2x}$[/tex] e raccogli [tex]$3^x$[/tex] all'interno della parentesi. Dopodiché cerca di utilizzare il limite notevole (che sempre segnalo):
[tex]$\lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{y} = \alpha$[/tex]
EDIT: Il consiglio rimane valido nonostante la tua correzione (con una zeta).
Ci sono riuscito, grazie anche a Seneca per il suggerimento.
Credo di aver capito perchè l'approssimazione non va bene. Facendo le cose per bene con gli o-piccolo mi resta $o(3^{2x})$ che tende a infinito, quindi non so di preciso a quanto tende il limite. Se invece fosse restato un $o(4)$ (per esempio....) esso è una quantità che divisa per 4 tende a 0 (quando x tende a infinito, in questo caso), quindi è un infinitesimo, e quindi il risultato del limite sarebbe stato 0.
Tutto giusto?
Credo di aver capito perchè l'approssimazione non va bene. Facendo le cose per bene con gli o-piccolo mi resta $o(3^{2x})$ che tende a infinito, quindi non so di preciso a quanto tende il limite. Se invece fosse restato un $o(4)$ (per esempio....) esso è una quantità che divisa per 4 tende a 0 (quando x tende a infinito, in questo caso), quindi è un infinitesimo, e quindi il risultato del limite sarebbe stato 0.
Tutto giusto?
uppino: perchè l'approssimazione che ho fatto all'inizio non andava bene? Ho postato una mia spiegazione nel post precedente. E' corretta?
Con queste approssimazioni mi ci sono trovato bene per molti esercizi, ma ci sono altri che non mi riescono (come questo), per lo più vengono 0. Quando vanno usate le approssimazioni con gli asintotici, e quando no?
EDIT: per i mod, io e questo sito facciamo le 18:55. Credo che l'orologio del forum sia di un'ora indietro (me ne sono accorto dopo aver postato). Mi scuso quindi se non sono passate le 24h, ma non è del tutto colpa mia (in ogni caso ho 5 minuti di anticipo, non penso siano un problema ....)
Con queste approssimazioni mi ci sono trovato bene per molti esercizi, ma ci sono altri che non mi riescono (come questo), per lo più vengono 0. Quando vanno usate le approssimazioni con gli asintotici, e quando no?
EDIT: per i mod, io e questo sito facciamo le 18:55. Credo che l'orologio del forum sia di un'ora indietro (me ne sono accorto dopo aver postato). Mi scuso quindi se non sono passate le 24h, ma non è del tutto colpa mia (in ogni caso ho 5 minuti di anticipo, non penso siano un problema ....)
"raffamaiden":[mod="dissonance"]Questo topic viene chiuso e raffamaiden viene bannato fino alla fine dei tempi per violazione della norma sugli UP. Bisogna aspettare 24 ore prima di sollecitare una risposta, 23 ore e 55 minuti NON SONO SUFFICIENTI.
EDIT: per i mod, io e questo sito facciamo le 18:55. Credo che l'orologio del forum sia di un'ora indietro (me ne sono accorto dopo aver postato). Mi scuso quindi se non sono passate le 24h, ma non è del tutto colpa mia (in ogni caso ho 5 minuti di anticipo, non penso siano un problema ....)
Che serva da esempio a tutti.[/mod]
Comunque, @raffamaiden: forse hai problemi col fuso orario. Vai nel tuo Profilo e regolalo da lì. Tieni conto che qui il software non passa automaticamente all'ora legale, perciò adesso siamo a GMT +2:00.
@dissonance L'ufficialità del tuo intervento da moderatore mi confonde, forse hai esagerato!
EDIT Dato che è passata più di un'ora...
@raffamaiden Secondo me nella risoluzione dei limiti punti subito e troppo ai criteri asintotici, dato che ho visto la tua difficoltà a maneggiarli bene ti cito questa perla di saggezza:
EDIT Dato che è passata più di un'ora...
@raffamaiden Secondo me nella risoluzione dei limiti punti subito e troppo ai criteri asintotici, dato che ho visto la tua difficoltà a maneggiarli bene ti cito questa perla di saggezza:
"Confucio":
Non si usano i cannoni per sparare alle zanzare.
Al di là della condanna dantesca di Dissonance 
la risposta, senza formalizzare tanto, è che puoi dire poco dinanzi alla differenza di due infiniti equivalenti; basta fare qualche esempio per capirlo.
la risposta, senza formalizzare tanto, è che puoi dire poco dinanzi alla differenza di due infiniti equivalenti; basta fare qualche esempio per capirlo.
@j18eos: scusa ma non capisco. Se un metodo è valido entro certi limiti, non vedo perchè entro quei limiti non posso applicarlo. Puoi spiegarmi nel procedimento del primo post dove ho sbagliato a maneggiare gli asintotici, di preciso?
@Seneca: gli infiniti equivalenti a cui ti riferisci sono i $3^x - 3^x$ da dopo la sostituzione?
So che non c'è un proprietà per la somma negli asintotici (cioè se $f \sim g$ e $m \sim n$ non è detto che $f + m \sim g+n$, o almeno io non sono a conoscenza di una proprietà di questo tipo). E' per questo che si usano gli o-piccolo. Sta lì l'errore che ho fatto? Nel sostituire l'asintotico in una somma? Quindi è giusto quello che ho detto nel post precedente?
Però in questo esercizio
$(1+3^x)^(1/x)$ trascurando l'$1$ il risultato mi viene corretto ... . Scusate ma ho un po' di confusione in testa sull'argomento. non riesco a capire quando usare gli asintotici e quando no. Magari formalizzando un po' riesco a capirlo meglio, o se mi fate qualche esempio, o se potete linkarmi qualche dispensa che spieghi bene gli asintotici e i limiti entro i quali si possono usare (ed eventualmente il perchè di questi limiti). Tu come hai fatto ad accorgerti che quella approssimazione non andava bene?
@Seneca: gli infiniti equivalenti a cui ti riferisci sono i $3^x - 3^x$ da dopo la sostituzione?
So che non c'è un proprietà per la somma negli asintotici (cioè se $f \sim g$ e $m \sim n$ non è detto che $f + m \sim g+n$, o almeno io non sono a conoscenza di una proprietà di questo tipo). E' per questo che si usano gli o-piccolo. Sta lì l'errore che ho fatto? Nel sostituire l'asintotico in una somma? Quindi è giusto quello che ho detto nel post precedente?
Però in questo esercizio
$(1+3^x)^(1/x)$ trascurando l'$1$ il risultato mi viene corretto ... . Scusate ma ho un po' di confusione in testa sull'argomento. non riesco a capire quando usare gli asintotici e quando no. Magari formalizzando un po' riesco a capirlo meglio, o se mi fate qualche esempio, o se potete linkarmi qualche dispensa che spieghi bene gli asintotici e i limiti entro i quali si possono usare (ed eventualmente il perchè di questi limiti). Tu come hai fatto ad accorgerti che quella approssimazione non andava bene?
Con somma umiltà ti rispondo che conosco (mediante lo studio personale) la definizione di funzioni asintotiche in un punto, ma tale nozione non la so applicare alla risoluzione di esercizi! 
Dalla mia esperienza vedo che il criterio asintotico lo si preferisce utilizzare con le funzioni schizofreniche(*)!
§§§
(*) Mi ricordo di una serie di funzioni con frazioni (per analogia) di [tex]$10$[/tex] e più piani postata su questo forum, a sfottere era richiesto di studiarla col metodo asintotico.
Dalla mia esperienza vedo che il criterio asintotico lo si preferisce utilizzare con le funzioni schizofreniche(*)!
§§§
(*) Mi ricordo di una serie di funzioni con frazioni (per analogia) di [tex]$10$[/tex] e più piani postata su questo forum, a sfottere era richiesto di studiarla col metodo asintotico.
"raffamaiden":
@j18eos: scusa ma non capisco. Se un metodo è valido entro certi limiti, non vedo perchè entro quei limiti non posso applicarlo. Puoi spiegarmi nel procedimento del primo post dove ho sbagliato a maneggiare gli asintotici, di preciso?
@Seneca: gli infiniti equivalenti a cui ti riferisci sono i $3^x - 3^x$ da dopo la sostituzione?
So che non c'è un proprietà per la somma negli asintotici (cioè se $f \sim g$ e $m \sim n$ non è detto che $f + m \sim g+n$, o almeno io non sono a conoscenza di una proprietà di questo tipo). E' per questo che si usano gli o-piccolo. Sta lì l'errore che ho fatto? Nel sostituire l'asintotico in una somma? Quindi è giusto quello che ho detto nel post precedente?
Però in questo esercizio
$(1+3^x)^(1/x)$ trascurando l'$1$ il risultato mi viene corretto ... . Scusate ma ho un po' di confusione in testa sull'argomento. non riesco a capire quando usare gli asintotici e quando no. Magari formalizzando un po' riesco a capirlo meglio, o se mi fate qualche esempio, o se potete linkarmi qualche dispensa che spieghi bene gli asintotici e i limiti entro i quali si possono usare (ed eventualmente il perchè di questi limiti). Tu come hai fatto ad accorgerti che quella approssimazione non andava bene?
I ragionamenti asintotici semplificano molto spesso il problema, altresì è facile cadere in fallo.
Come non sbagliare? Assicurarsi che le approssimazioni siano dimostrabili.
Un esempio di come la vedo io: supponiamo di avere $g, f, F$ tre infiniti per $x -> +oo$ (supponiamo che siano "ben fatte"). Si deve calcolare il seguente limite:
$lim_(x -> +oo) g(x) [ f(x) - F(x) ]$
che si può riscrivere come $lim_(x -> +oo) g(x) [ (f(x))/(F(x)) - 1 ] $ (*).
A questo punto facciamo una supposizione ulteriore. Sia $"ord"(f) > "ord"(g)$ per $x -> +oo$. Dunque si ha che $ lim_(x -> +oo ) (f(x))/(F(x)) = +oo$ e il limite (*) è infinito.
Supponendo che sia $"ord"(f) < "ord"(g)$ si deduce che (*) è ancora infinito.
Analizzando l'ultimo caso, $"ord"(f) = "ord"(g)$, distinguiamo due possibilità. La più interessante è quella per cui si ha $f sim g$. Infatti, con questa ipotesi, $( (f(x))/(F(x)) - 1 ) -> 0$ per $x -> +oo$ e quindi non si può concludere un accidenti.
Ti propongo alcuni esempi di differenze di infiniti equivalenti su cui riflettere:
$2^x - 2^(x + 1) -> - oo$ per $x -> +oo$;
$sqrt(x) - sqrt( x + 1) -> 0$ per $x -> +oo$;
$x - ( x - 2001 ) -> 2001$ per $x -> +oo$.
$2^x - 2^(x + 1) -> - oo$ per $x -> +oo$;
$sqrt(x) - sqrt( x + 1) -> 0$ per $x -> +oo$;
$x - ( x - 2001 ) -> 2001$ per $x -> +oo$.
"raffamaiden":
@j18eos: scusa ma non capisco. Se un metodo è valido entro certi limiti, non vedo perchè entro quei limiti non posso applicarlo. Puoi spiegarmi nel procedimento del primo post dove ho sbagliato a maneggiare gli asintotici, di preciso?
@Seneca: gli infiniti equivalenti a cui ti riferisci sono i $3^x - 3^x$ da dopo la sostituzione?
So che non c'è un proprietà per la somma negli asintotici (cioè se $f \sim g$ e $m \sim n$ non è detto che $f + m \sim g+n$, o almeno io non sono a conoscenza di una proprietà di questo tipo). E' per questo che si usano gli o-piccolo. Sta lì l'errore che ho fatto? Nel sostituire l'asintotico in una somma? Quindi è giusto quello che ho detto nel post precedente?
Mi sostituisco a Seneca e j18eos, spero non la prendano a male.
Il problema è che hai usato un'approssimazione rozza, la più rozza possibile.
Infatti hai approssimato la funzione [tex]$\sqrt{1+9^x}-3^x=3^x\, (\sqrt{1+9^{-x}} -1)$[/tex] (che è positiva) con l'applicazione identicamente nulla.
"raffamaiden":
Però in questo esercizio
$(1+3^x)^(1/x)$ trascurando l'$1$ il risultato mi viene corretto...
Ma se non dici a cosa tende [tex]$x$[/tex]...
Un esempio di come la vedo io: supponiamo di avere $g, f, F$ tre infiniti per $x -> +oo$ (supponiamo che siano "ben fatte"). Si deve calcolare il seguente limite:
$lim_(x -> +oo) g(x) [ f(x) - F(x) ]$
che si può riscrivere come $lim_(x -> +oo) g(x) [ (f(x))/(F(x)) - 1 ] $ (*).
Scusa, ma non dovrebbe essere $lim_(x -> +oo) g(x)F(x) [ (f(x))/(F(x)) - 1 ] $ ?
A questo punto facciamo una supposizione ulteriore. Sia $"ord"(f) > "ord"(g)$ per $x -> +oo$. Dunque si ha che $ lim_(x -> +oo ) (f(x))/(F(x)) = +oo$ e il limite (*) è infinito.
Non ho ben capito da una condizione tra $f$ e $g$ come fai a dedurre delle proprietà sul limite tra $f$ e $F$. Ti dico quello che so io, così mi dici se è giusto o sbagliato e capisci anche dove sbaglio a ragionare io.
Se $"ord"(f) > "ord"(g)$ allora $lim_(x -> +oo ) (f(x))/(g(x)) = +- oo$, cioè $f$ tende a infinito "più rapidamente" di $g$. Da questo fatto come sei arrivato a dedurre che $ lim_(x -> +oo ) (f(x))/(F(x)) = +oo$? Almenochè non intendevi $"ord"(f) > "ord"(F)$. In questo caso mi torna, ma poi (seconda ipotesi che hai fatto) se $"ord"(f) < "ord"(F)$ il limite dovrebbe fare $-\infty$. Invece l'ultimo punto mi tornerebbe anch'esso (sempre sostituendo nella tua condizione $g$ con $F$), perchè si otterrebbe una forma di indeterminazione $0*\infty$.
Non voglio fare supposizioni visto che sono già abbastanza confuso sull'argomento, per cui ti lascio la parola ....
Mi sostituisco a Seneca e j18eos, spero non la prendano a male.
Non penso, è sempre positivo sentire un'altra opinione. Siamo in un forum per questo no?
Il problema è che hai usato un'approssimazione rozza, la più rozza possibile.
Come si fa a distinguere una buona approssimazione da una rozza? Ripeto la domanda che faccio da tre post: c'entra il fatto che risolvendo il limite con gli o-piccolo mi resta solo un $o(3^{2x})$ senza nulla di significativo? Ovviamente non c'entra nulla che nella mia approssimazione del primo post mi resta un $+\infty - \infty$ che è forma indeterminata (e quindi ragionando in questo modo non posso dire che fà $0$), perchè i due termini sono uguali ($3^{2x} - 3^{2x}$) e quindi assumono sempre gli stessi valori e quindi fà effettivamente $0$, giusto?
Ma se non dici a cosa tende $x$...
$x -> + \infty$. $1$ è trascurabile rispetto a $3^x$ (infatti il limite del rapporto tende a $0$). "Ignorando" l'$1$, il limite viene corretto ($3$)
Risolviamo ora il seguente limite proposto da Seneca:
$lim_{x -> +oo} sqrt(x) - sqrt(x+1) = lim_{x -> +oo} sqrt(x)(1 - (sqrt(x+1))/(sqrt(x))) = lim_{x -> +oo} sqrt(x)(1 - sqrt(1 + 1/x))$
Poichè $x$ è positivo, $1+ 1/x$ è $>1$ e poichè la funzione radice è crescente $sqrt(1 + 1/x) > sqrt(1) = 1$. Quindi si ottiene che $1 - sqrt(1 + 1/x) < 0$.
Ora se io approssimassi $1/x$ con $0$ otterrei $1 - sqrt(1 + 1/x) = 0$ commettendo un grave errore, perchè ho aprrossimato una quantità negativa con l'applicazione nulla. Questo ovviamente vale anche se scrivo la parentesi come $(1 - (sqrt(x+1))/(sqrt(x))$, che non cambia niente se non che i termini sono riarrangiati in modo diverso. Ovviamente questo vale anche per $sqrt(x) - sqrt(x+1)$ che è una quantità negativa (stesso ragionamento di prima), e quindi se approssimassi $x+1$ con $x$ commetterei un errore perchè mi verrebbe fuori $0$ (e non una quantità negativa).
Detto questo, come si risolve questo limite?
"raffamaiden":
Scusa, ma non dovrebbe essere $lim_(x -> +oo) g(x)F(x) [ (f(x))/(F(x)) - 1 ] $ ?
Hai perfettamente ragione, mi ero perso una [tex]$F$[/tex]...
"raffamaiden":
Almenochè non intendevi $"ord"(f) > "ord"(F)$.
Ero un po' stanco ed ho fatto confusione. Anche qui hai ragione; ovviamente è $F$ non $g$.
Forse è meglio che quel post lo lasci da parte.
Comunque gli esempi che ti ho fatto mostrano come, da $f sim F$ per $x -> +oo$, non si può dedurre granché sull'andamento all'infinito di $f - F$.
Riguardo al limite [tex]$\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} - \sqrt{x+1}$[/tex] , questo si risolve raccogliendo [tex]$\sqrt{x}$[/tex] e poi usando il limite notevole che ti ho suggerito ieri.
[tex]$\lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{y} = \alpha$[/tex]
Oppure - e forse è più standard - lo si può risolvere moltiplicando e dividendo per [tex]\sqrt{x} + \sqrt{x+1}$[/tex].
[tex]$\lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{y} = \alpha$[/tex]
Oppure - e forse è più standard - lo si può risolvere moltiplicando e dividendo per [tex]\sqrt{x} + \sqrt{x+1}$[/tex].
@Seneca: no ho capito quel post, il criterio asintotico non ci dice nulla sulla differenza tra infiniti dello stesso ordine ...
Comunque, per non sbagliare già in partenza, forse conviene trattare questo tipo di somme con l'algebra di $o$-piccolo, e se alla fine non resta nulla di significativo (per esempio resta $o(3^{2x}$ che $\to +\infty$) allora tornare indietro e procedere in un altro modo. Che ne pensi, Seneca?
Comunque, per non sbagliare già in partenza, forse conviene trattare questo tipo di somme con l'algebra di $o$-piccolo, e se alla fine non resta nulla di significativo (per esempio resta $o(3^{2x}$ che $\to +\infty$) allora tornare indietro e procedere in un altro modo. Che ne pensi, Seneca?
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