Limite

[fool1]

Salve a tutti, non sto riuscendo a capire come questo limite $lim_(n->+oo) (1/e)^n*(((n+1)/n)^(n))^n$ risulti $1/sqrt(e)$,
se $lim_(n->+oo) ((n+1)/n)^(n) = e$ mi viene questa forma indeterminata: $lim_(n->+oo)(1/e)^n*e^n$ e non so proseguire..

[dissonance]

Se fosse come dici tu avresti $(1/e)^n*e^n=1$ quindi il risultato sarebbe 1. Ma è sbagliato. Non puoi calcolare un limite "a pezzi" in questo modo, come hai fatto:

$lim_{n \to infty} (((n+1)/n)^n)^n)=(lim_{n \to infty} ((n+1)/n)^n))^n=e^n$;

chiaramente non ha senso: la $n$ deve sparire dal risultato.

[fool1]

Grazie della risposta. Ma quindi non potendolo calcolare a pezzi come potrei procedere?

[dissonance]

E' una forma indeterminata $1^infty$. Ci sono troppi esponenti $n$ che ti fanno confondere, quindi io passerei subito al logaritmo. Ora ricordando le proprietà dei logaritmi ti riconduci a calcolare

$lim_{n \to \infty} n^2 log(1+1/n)-n$

e qui si intuisce che tecnica usare: usare lo sviluppo di Taylor del logaritmo. Ecco qua, lo ricordo:

$log(1+1/n)=sum_{k=1}^N (-1)^(k+1) 1/(kn^k)+o(1/(n^N))$.

[Gauss Green]

"fool":Salve a tutti, non sto riuscendo a capire come questo limite $lim_(n->+oo) (1/e)^n*(((n+1)/n)^(n))^n$ risulti $1/sqrt(e)$,
se $lim_(n->+oo) ((n+1)/n)^(n) = e$ mi viene questa forma indeterminata: $lim_(n->+oo)(1/e)^n*e^n$ e non so proseguire..

prova a porre n=2n