Limite (?)

[Riscica]

Salve a tutti.
Stavo risolvendo questo limite in questo modo:
$ lim_(x-> +oo) sqrt(2x+x^2) - x = lim_(x-> +oo) sqrt(x^2(1+(2x)/x^2)) -x = x-x = 0 $

Eppure la soluzione è "1". Dove sta il mio errore?

[@melia]

Nel fatto che mandi al limite solo un pezzo $1+(2x)/(x^2)$ e non tutto l'insieme

[Riscica]

Non so, io rifletto che $ (2x)/x^2 $ tende a zero. E quindi mi rimane $ sqrt (x^2(1))=sqrt(x^2)=x $

E quindi x-x = 0..

[@melia]

No, non puoi perché quello 0 è moltiplicato per un $oo$, o li mandi al limite contemporaneamente o te li tieni entrambi.
La soluzione corretta è
$ lim_(x-> +oo) (sqrt(2x+x^2) - x )*(sqrt(2x+x^2) + x )/(sqrt(2x+x^2) + x )= lim_(x-> +oo) (2x+x^2-x^2)/(x(sqrt(2/x+1)+1))= lim_(x-> +oo) 2/(sqrt(2/x+1)+1)= 2/2=1 $

[krek1]

"krek":Un approccio più "brutale" e "ignorante" è il seguente:

$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n =\lim_n \sqrt{n^2+n}-n *\(sqrt{n^2+n}+n)/(sqrt{n^2+n}+n) =\lim_n \(n^2+n-n^2)/(sqrt{n^2+n}+n) = \lim_n \(n)/(sqrt{n^2+n}+n)= \lim_n \(n)/(n) *1/(sqrt{1+1/n}+1)= \lim_n \1/(sqrt{1+1/n}+1)$

ora siccome il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti puoi dire che il limite è $\1/2$

Concordo

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vedi: https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#456929

C'è una spiegazione molto esauriente fatta da gugo82 su questo tipo di errore.

[shaducci]

Ho una domanda al riguardo.

Premesso che ho capito il problema ma la mia difficoltà sta nel sapere "come partire".

Cerco di spiegarmi meglio. o fatto un quantitativo incredibile di limiti, eppure ogni volta faccio molta fatica, perchè faccio difficoltà a capire come devo iniziare con i calcoli algebrici.

Esistono dei trucchetti o devo semplicemente rassegnarmi?E' tutta questione di occhio?

[Raptorista1]

Oppure, puoi trovare una via più rapida se conosci il limite notevole $ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha -1}{x}=\alpha$

[shaducci]

Ma nel limite notevole x tende a 0!

[krek1]

sostituisci $x$ con $1/x$ per $x->+oo$.