Limite

[ironshadow1]

il primo limite (dov'è la tgx +x^2-senx etc..)l'ho svolto e mi viene $ oo $ ho sbagliato io ? alla fine mi viene : 1/0 =$ oo $

devo postare tutto il procedimento?

[Auron2]

Per quanto riguarda il primo limite credo che il tuo risultato sia sbagliato.
Infatti, utilizzando gli infinitesimi, a me risulta che:

$lim_(x->0) (tgx+x^2-senx)/(x^3+log(1+x)) = lim_(x->0) (x + x^2 -x )/(x^3+x) = lim_(x->0) (x^2 )/(x(x^2+1)) = lim_(x->0) x/(x^2+1)= 0 / 1 = 0 $

Per tutti gli altri, invece, utilizzando un cambio di variabile e gli infinitesimi nuovamente, dovresti riuscire a risolverli senza fare passaggi troppo complicati.
Ad esempio:

$lim_(x->1) (e^x -e ) / (sqrtx - 1 ) $

Cambiando la variabile $t = x-1$ si ha che:

$lim_(t->0) ( e^(t+1) -e ) / (sqrt(t+1) -1) $

Utilizzando gli infinitesimi:

$lim_(t->0) (e*t)/(t/2) = 2e $

[ironshadow1]

ma non li ho fatti gli infinitesimi

[Auron2]

Allora però in ogni caso tu sai che, per i limiti fondamentali:

$lim_(x->0) (tgx)/x = 1 $

$lim_(x->0) (senx)/x = 1 $

$lim_(x->0) log(1+x)/x = lim_(x->0) log(1+x)^(-x) = 1 $

Quindi il tuo primo esercizio era giusto, tranne che nel calcolo finale:

$lim_(x->0) (1+x-1)/(x^2+1) =lim_(x->0) (+x)/(x^2+1) = 0/1 = 0$