Limite

[el principe]

Vorrei sapere come si risolve questo limite: $lim_{x \to +\infty}(ln(sqrt(x+1)))/x$
Ho provato con la sostituzione $y=1/x$ per ottenere il numero di nepero ma non mi esce qualcuno mi può aiutare?

[Paolo902]

E' un confronto tra infiniti. Ti basta ricordare che l'infinito del logaritmo è più debole di quello di qualsiasi potenza di $x$.

[el principe]

Ah è vero, scusa una domanda ma se ad esempio ho $lim_{x \to +\infty}(ln(x^10))/x$ o ln x con x elevato a qualsiasi potenza fratto x tende sempre a 0? il logaritmo è sempre + debole?

[Paolo902]

Be', basta ricordare che $ln(x^alpha)=alphalnx$ e la costante non modifica la sostanza del ragionamento.

Chiaro?

[el principe]

Ah si ora si, grazie
E se il limite tendesse a 0?
$lim_{x -> 0}(ln(sqrt(x+1)))/x$
come si risolverebbe?

[Paolo902]

A meno di una costante moltiplicativa quello è un limite notevole.
Infatti, la funzione è prolungabile per continuità nello $0$.

[el principe]

Vbb se non ci fosse la radice farei $y=1/x$ e mi uscirebbe $ln(1+1/y)^y $ quindi $ln e$ che è uguale a $1$...ma siccome c'è la radice cosa sotituisco a y? $ y=1/sqrt(x)$ ?

[Paolo902]

$lim_(x to 0) ln(1+x)/x=1$.

La radice diventa $1/2$ che moltiplica la frazione.

[el principe]

Ah è vero! quindi il risultato poi è $1/2$...grazie mille paolo per aver chiarito i miei dubbi

[Paolo902]

Prego, di nulla.