Limite

[TR0COMI]

Ecco il limite che devo risolvere per trovare l'equazione di un asintoto obliquo in uno studio di funzione, affrontato in un topic precedente (per non ingenerare confusione ho preferito separare):
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2-1)-x)$ ed è uguale a $+oo$.
I coefficienti $m$ e $q$ che devo trovare devono essere entrambi ovviamente finiti:
$m=lim_(x->-oo)((sqrt(x^2-1)-x)/x)$ e mi viene $0$ ma il risultato dev'essere senz'altro sbagliato, poichè se fosse corretto non avrei valore di $q$ finito.
Mi dite come risolvo questo limite, spiegandomi i passaggi?

[@melia]

"TR0COMI":
$m=lim_(x->-oo)((sqrt(x^2-1)-x)/x)$ e mi viene $0$ ...

Non è possibile, ti viene una forma $oo/oo$, che è diverso.
Si risolve raccogliendo la x
$m=lim_(x->-oo)(sqrt(x^2-1)-x)/x=lim_(x->-oo)(|x|*sqrt(1-1/x^2)-x)/x=lim_(x->-oo)(-x*sqrt(1-1/x^2)-x)/x=lim_(x->-oo)(-x*(sqrt(1-1/x^2)+1))/x=-2$
Ti ricordo che per $x->-oo$ il $|x|$ vale $-x$

[wolf90]

Salve a tutti ragazzi, mi sono appena registrato, leggendo il post iniziale mi è venuto un dubbio, ma il primo limite non dovrebbe fare 0?

$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2-1)-x)$

moltiplico tutto per $(sqrt(x^2-1)+x)/(sqrt(x^2-1)+x)$
mi viene

$(x^2-1-x^2)/(sqrt(x^2-1)+x)$ che fa 0, dove ho sbagliato? Ho controllato il grafico con graph ed effettivamente fa $+oo$

[baldo891]

$sqrt((x^2-1)^2)=|x^2-1|$ devi metterci il modulo

[wolf90]

Ecco dove avevo sbagliato, il fatto è che intuitivamente il limite veniva giusto, non capivo perchè non venisse con quei passaggi, grazie.

[TR0COMI]

Giusto, grazie @melia... è che risolvendo la forma indeterminata senza considerare x in modulo mi veniva $0$ .
Ma quindi... $lim_(x->-oo)(sqrt(x^2-1)-x)$ viene $+oo$ NON per semplice "sostituzione" di $-oo$ come in maniera erronea pensavo?

[Seneca1]

"TR0COMI":Giusto, grazie @melia... è che risolvendo la forma indeterminata senza considerare x in modulo mi veniva $0$ .
Ma quindi... $lim_(x->-oo)(sqrt(x^2-1)-x)$ viene $+oo$ NON per semplice "sostituzione" di $-oo$ come in maniera erronea pensavo?

Per $x -> -oo$ quella radice ha limite $+oo$; $-x$ ha limite $+oo$.

Si dimostra che la somma ha limite $+oo$. Quindi è come pensavi, anche se "sostituire infinito" è un'espressione che prenderei con le pinze.

[TR0COMI]

Mi rendo conto... "sostituzione di infinito" non è esattamente corretto grazie a tutti!