Limite

[Gab881]

Mi sono imbattuto in un limite la cui risoluzione mi lascia perplesso:

[tex]$\lim_{x \to 0^+} \frac{\arcsin (3^x-1)}{\tan x-x}$[/tex]

Ovviamente forma indeterminata 0/0 e abbiamo per quanto riguarda il numeratore:

[tex]\arcsin(3^x-1) \sim 3^x-1 \sim x\log 3[/tex] e fin qui tutto apposto

al denominatore invece:

[tex]\tan x - x \sim \frac{1}{3} x^3[/tex] da dove esce?????

vabbè poi va avanti con l risoluzione è il risultato è [tex]+\infty[/tex]

[Fioravante Patrone1]

"Gab88":
[tex]arcsen(3^x-1) = 3^x-1 = xlog3[/tex] e fin qui tutto apposto

A parte quell'orribile "apposto", sei sicuro di aver ricopiato bene?

[Gab881]

A cosa ti riferisci in particolare? Alla traccia o alla risoluzione? Comunque ho ricontrollato tutto e non ho fatto errori nel ricopiare, a parte il simbolo che non so come si fa sul computer e l'ho sostituito con l'uguale

[gugo82]

Mi sono preso la briga di correggere il codice TeX.

Se non sai usare TeX o LaTeX per scrivere matematico (e non ti va d'impararlo), lascia stare il testo TEX: ti bastano due \$ \$ ed il MathML (che è certamente più semplice).
Per sapere come si fa basta cliccare su formule.

Se invece vuoi imparare anche a scrivere le formule (e tanto altro) in TeX, ti consiglio la (mica tanto) Breve introduzione a LaTeX (o in versione originale not so short...) soprattutto il capitolo 3.

[Seneca1]

"Gab88":
al denominatore invece:

[tex]\tan x - x \sim \frac{1}{3} x^3[/tex] da dove esce?????

Sviluppando in serie di Mac-Laurin la tangente fino al terz'ordine si ha:

$tan(x) = x + x^3/3 + o(x^3)$

$tan(x) - x = x^3/3 + o(x^3)$

[Gab881]

E non esiste una risoluzione alternativa a quella con le serie? M sembra difficile che chi ha fatto quell'esercizio usi quel metodo in quanto non c'è nel programma[/quote]

[Seneca1]

"Gab88":E non esiste una risoluzione alternativa a quella con le serie? M sembra difficile che chi ha fatto quell'esercizio usi quel metodo in quanto non c'è nel programma

[/quote]

Mmh, un modo c'è. Dovresti accorgerti che $tan(x) - x$ è un'infinitesimo del terz'ordine; quindi si avrebbe:

$lim_(x->0) (tan(x) - x)/x^3$ (*)

Applicando il teorema di De L'Hospital un paio di volte, hai:

$lim_(x->0) (tan(x) - x)/x^3$ [H.]

$lim_(x->0) (1/(cos^2(x)) - 1)/(3x^2)$ [H.]

$lim_(x->0) (2 sin(x)/(cos^3(x)))/(6x)$

$lim_(x->0) 1/3 * sin(x)/x * 1/(cos^3(x)) = 1/3$

Quindi, tornando alla (*)

$lim_(x->0) (tan(x) - x)/x^3 = 1/3$

Scrivendo fuori dal segno di limite:

$(tan(x) - x)/x^3 = 1/3 + o(1)$

$tan(x) - x = x^3/3 + x^3 * o(1)$

E per le proprietà dell'o-piccolo:

$tan(x) - x = x^3/3 + o(x^3)$

Che è l'uguaglianza che volevamo verificare. Credo che con i soli limiti notevoli sia impossibile da dimostrare.