Limite
Salve gente,
ho questa espressione e la devo calcolare in w uguale a zero:
[tex]j 2 e^{-jw} \left [ \frac {w cos w - sin w} {w^2} \right ] + 2 e^{-jw} \left [ \frac {sin w} {w} \right ][/tex]
Ovviamente bisogna procedere con i limiti. Ho provato allora a ricondurmi a dei limiti noti, ho provato con le serie di Taylor del seno e del coseno e infine ho provato con la formula di Eulero del seno e del coseno. Ma niente non riesco a risolverlo!](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il problema sta nel primo termine, il secondo invece si vede facilmente che dà 2. Tra l'altro ho la soluzione, il tutto deve tendere a 2 e quindi il primo termine dovrebbe annullarsi.
Aspetto fiducioso qualche aiuto!
ho questa espressione e la devo calcolare in w uguale a zero:
[tex]j 2 e^{-jw} \left [ \frac {w cos w - sin w} {w^2} \right ] + 2 e^{-jw} \left [ \frac {sin w} {w} \right ][/tex]
Ovviamente bisogna procedere con i limiti. Ho provato allora a ricondurmi a dei limiti noti, ho provato con le serie di Taylor del seno e del coseno e infine ho provato con la formula di Eulero del seno e del coseno. Ma niente non riesco a risolverlo!
Il problema sta nel primo termine, il secondo invece si vede facilmente che dà 2. Tra l'altro ho la soluzione, il tutto deve tendere a 2 e quindi il primo termine dovrebbe annullarsi.
Aspetto fiducioso qualche aiuto!
Risposte
A me non pare una cattiva idea usare gli sviluppi, prova a scriverli
Ok, forse ho trovato la soluzione. Ho provato a riscrivere le serie di Taylor, questa volta però ho sviluppato anche l'esponenziale:
[tex]j2 \, e^{-jw} \left [ \frac{w \, cos(w) - sin(w)}{w^2} \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \, e^{-jw} \left [ w \, cos(w) - sin(w) \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( 1 - jw + \frac{(-jw)^2}{2!} + \frac{(-jw)^3}{3!} + ... \right ) \left [ \left ( w - \frac{w^3}{2!} + \frac{w^5}{4!} - ... \right ) - \left ( w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - ... \right ) \right ] = \\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( 1 - jw + \frac{(-jw)^2}{2!} + \frac{(-jw)^3}{3!} + ... \right ) \left ( w - w \right ) = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left [ (w - w) - jw \, (w - w) + \frac{(-jw)^2}{2!} \, (w - w) + \frac{(-jw)^3}{3!} \, (w - w) + ... \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left [ - jw \, (w - w) \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( -jw^2 + jw^2 \right ) = \\
\\
\\
= \; j2 \, \left ( -j + j \right ) = \\
\\
\\
= 0[/tex]
Cosa dite, può andare? Tra l'altro così non serve neanche far tendere w a zero...
[tex]j2 \, e^{-jw} \left [ \frac{w \, cos(w) - sin(w)}{w^2} \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \, e^{-jw} \left [ w \, cos(w) - sin(w) \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( 1 - jw + \frac{(-jw)^2}{2!} + \frac{(-jw)^3}{3!} + ... \right ) \left [ \left ( w - \frac{w^3}{2!} + \frac{w^5}{4!} - ... \right ) - \left ( w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - ... \right ) \right ] = \\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( 1 - jw + \frac{(-jw)^2}{2!} + \frac{(-jw)^3}{3!} + ... \right ) \left ( w - w \right ) = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left [ (w - w) - jw \, (w - w) + \frac{(-jw)^2}{2!} \, (w - w) + \frac{(-jw)^3}{3!} \, (w - w) + ... \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left [ - jw \, (w - w) \right ] = \\
\\
\\
= \; j2 \, \frac{1}{w^2} \left ( -jw^2 + jw^2 \right ) = \\
\\
\\
= \; j2 \, \left ( -j + j \right ) = \\
\\
\\
= 0[/tex]
Cosa dite, può andare? Tra l'altro così non serve neanche far tendere w a zero...
Non va perchè trascuri i termini d'ordine superiore.
L'esponenziale lascialo stare, che è continuo in $0$. Preoccupati solo di sviluppare "per bene" le funzioni trigonometriche.
L'esponenziale lascialo stare, che è continuo in $0$. Preoccupati solo di sviluppare "per bene" le funzioni trigonometriche.
"gugo82":
Non va perchè trascuri i termini d'ordine superiore.
L'esponenziale lascialo stare, che è continuo in 0. Preoccupati solo di sviluppare "per bene" le funzioni trigonometriche.
si si che l'esponenziale in zero è definito lo so, ma io l'ho sviluppato così da poter semplificare quel maledetto termine di secondo grado al denominatore! Gli sviluppi delle funzioni trigonometriche mi sembrano corretti
(lo sviluppo del coseno è stato moltiplicato per w)
Mi sono accorto di un errore di semplificazione al terzo passaggio!!
Adesso che dite? È tutto corretto?
Adesso che dite? È tutto corretto?
Non va bene.
Per risolvere il limite basta troncare Taylor al secondo ordine per [tex]$\cos w$[/tex] ed al terzo ordine per [tex]$\sin w$[/tex] e scrivere:
[tex]$2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w\cos w -\sin w}{w^2}=2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w(1-\frac{1}{2}w^2 +\text{o}(w^2)) -(w-\frac{1}{6} w^3+\text{o}(w^3))}{w^2}$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w-\frac{1}{2}w^3-w+\frac{1}{6} w^3+\text{o}(w^3)}{w^2}$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\frac{\text{o}(w^3)}{w^2} \right)$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\text{o}(w) \right)$[/tex]
sicché [tex]$\lim_{w\to 0}2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w\cos w -\sin w}{w^2}= \lim_{w\to 0} 2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\text{o}(w) \right) =0$[/tex].
Ricordi di Analisi I...
Per risolvere il limite basta troncare Taylor al secondo ordine per [tex]$\cos w$[/tex] ed al terzo ordine per [tex]$\sin w$[/tex] e scrivere:
[tex]$2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w\cos w -\sin w}{w^2}=2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w(1-\frac{1}{2}w^2 +\text{o}(w^2)) -(w-\frac{1}{6} w^3+\text{o}(w^3))}{w^2}$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w-\frac{1}{2}w^3-w+\frac{1}{6} w^3+\text{o}(w^3)}{w^2}$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\frac{\text{o}(w^3)}{w^2} \right)$[/tex]
[tex]$=2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\text{o}(w) \right)$[/tex]
sicché [tex]$\lim_{w\to 0}2\jmath e^{-\jmath w} \frac{w\cos w -\sin w}{w^2}= \lim_{w\to 0} 2\jmath e^{-\jmath w} \left( -\frac{1}{3} w +\text{o}(w) \right) =0$[/tex].
Ricordi di Analisi I...
"gugo82":
Per risolvere il limite basta troncare Taylor al secondo ordine per $\cos w$ ed al terzo ordine per $\sin w$ e scrivere:
Hai proprio ragione!!
E si che si vedeva anche dall'espressione che avevo scritto io!!
Tra l'altro, come giustamente avevi scritto tu, lo sviluppo dell'esponenziale ha finito solo per "infastidirmi"!!
Ok penso che abbiamo finito, ti ringrazio!!
@Jack87
Pura curiosità: perché metti le formule in spoiler?
Pura curiosità: perché metti le formule in spoiler?
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