Limite

[Sandsky90]

Ciao a tutti qualcuno ha un idea su come risolvere questo limite?

$limx->0 (arctan(x^(1/3))-e^(x^(1/3))+1)/(ln(1+tan(x^(1/3)))$

L'unica cosa che mi viene in mente è provare a riscrviere il logaritmo come $tan(x^(1/3))$ sfruttando la relazione di asintotico, ma non saprei come andare avanati

saluti Andrea

[Luca.Lussardi]

Sopra io userei Taylor... attento agli infintesimi.

[gugo82]

[OT]

"Luca.Lussardi":[...]

[size=67]P.S.: Scusate, ma è stato più forte di me![/size]

[/OT]

[Seneca1]

"Sandsky90":Ciao a tutti qualcuno ha un idea su come risolvere questo limite?

$limx->0 (arctan(x^(1/3))-e^(x^(1/3))+1)/(ln(1+tan(x^(1/3)))$

L'unica cosa che mi viene in mente è provare a riscrviere il logaritmo come $tan(x^(1/3))$ sfruttando la relazione di asintotico, ma non saprei come andare avanati

saluti Andrea

$"ord"_0 [ ln(1+tan(x^(1/3)))] = "ord"_0 (x^(1/3))$ (in particolare: $ln[1+tan(x^(1/3))] \sim x^(1/3)$).

Al numeratore hai la differenza di due infinitesimi dello stesso ordine: $"ord"_0(arctan(x^(1/3))) = "ord"_0(e^(x^(1/3))-1)$. Non solo. $arctan(x^(1/3))$ e $e^(x^(1/3))-1$ sono infinitesimi equivalenti ($arctan(x^(1/3)) \sim e^(x^(1/3))-1$). Ma è facile dimostrare che la differenza di due infinitesimi equivalenti è sempre un infinitesimo di ordine superiore.

In sostanza basta rendersi conto che il denominatore è un infinitesimo di ordine $1/3$ mentre il NUMERATORE è di ordine superiore. Il limite è 0.

[Sandsky90]

Ciao Luca ho provato a farla in questo modo non è che gentilemente potresti controllare se è giusto?

Allora il limite diventa con Taylor: $(x^(1/3)-((x^(1/3)^3)/3)+o(x)-1-x^(1/3)+o(x)+1)/x^(1/3)$

Semplificando: $((-x/3)/x^(1/3))$ e siccome il grado del numeratore è maggiore a quello nel numeratore viene 0?

[@melia]

Credo che avresti dovuto aggiungere un ulteriore termine allo sviluppo dell'esponenziale, visto che il primo termine si semplifica con quello dell'arcotangente.

PS lo so che non è molto fine, ma il limite viene con L'Hospital, al primo passaggio.

[Angelo210]

Ponendo $ t = x^(1/3) $ risulta,

$ lim_(x->0)(arctan(x^(1/3))-e^(x^(1/3))+1)/(ln(1+tan(x^(1/3)))) = lim_(t->0)(arctan(t)-e^t+1)/(ln(1+tan(t))) $

Inoltre,

$ (arctan(t)-e^t+1)/(ln(1+tan(t))) = t/tan(t)*tan(t)/ln(1+tan(t))*(arctan(t)/t-(e^t-1)/t) $

D'altra parte sappiamo che,

$ lim_(t->0) t/tan(t)=lim_(t->0)t/(sen(t))*cos(t)=lim_(t->0)t/(sen(t))*lim_(t->0)cos(t)=1*1=1 $

$ lim_(t->0)arctan(t)/t=1 $

$ lim_(t->0)(e^t-1)/t=1 $

E, ponendo $ z= tan(t) $, risulta,

$ lim_(t->0) tan(t)/ln(1+tan(t))=lim_(z->0)z/ln(1+z)=lim_(z->0)1/ln[(1+z)^(1/z)]=1/ln(e)=1 $

Quindi si ha,

$ lim_(t->0)(arctan(t)-e^t+1)/(ln(1+tan(t)))=lim_(t->0)t/tan(t)*tan(t)/ln(1+tan(t))*(arctan(t)/t-(e^t-1)/t)=1*1*(1-1)=0 $,

da cui si ottiene il limite richiesto,

$ lim_(x->0)(arctan(x^(1/3))-e^(x^(1/3))+1)/(ln(1+tan(x^(1/3))))=0 $