Limite

[miuemia]

ho il seguente limite: $lim_{x\rightarrow 1} (1+sin(\pix))^{\frac{1}{x-1}}$

ho moltiplicato l'espopnente per $\frac{sin(\pix)}{sin(\pix)}$ ed ottengo $e^{\pi}$ ma il risultato è $e^{-\pi}$
non capisco dove faccio l'errore.
grazie a tutti

[Boris1]

prova a riscriverti il limite come $e^log(..)$ ed usare l'hopital

[miuemia]

ah dimenticavo non posso utilizzare de lhospital e compagnia bella.

[Boris1]

allora io mi sono riscritto il limite con un cambio di variabile ponendo $x=t+1, trArr0$, così ottengo
$lim_(t->0)(1-sen(\pit))^(1/t)rArrlim_(t->0)(1-\pit)^((-\pi)/(-\pit))rArre^(-\pi)$

[miuemia]

ah ok perfetto. e questo altro
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x+\sqrt{x}}$
è equivalente a $\frac{x}{\sqrt{x}(\frac{x}{\sqrt{x}}+1)}$ e quindi viene 0. corretto?

[Boris1]

corretto

[miuemia]

mentre se ho $lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\frac{3}{sinx}-\frac{1}{sin3x})$
posso dire che questo limite è equivalente a $\frac{3}{x}-\frac{1}{3x}=\frac{8}{3x}$ e quindi $+oo$?

[Boris1]

l'aprossimazione $senx=x$ puoi sempre farla, perchè applichi un limite notevole, (d'altronde $x$ è anche il primo membro dello sviluppo in serie di Mc Laurin di $senx$), ma come tutti gli altri limiti notevoli, ha il difetto di essere buona a meno che non si trovino forme indeterminate. Se ne trovi, sei costretta a fare uno studio più accurato.
nel tuo caso quindi va ancora bene ed il limite tende a $+infty$