Limite
Questo limite io l'avrei risolto cosi' :
$lim_ (x->-infty) x+log(x^2+1)$
proprieta' dei limiti: il limite del prodotto = al prodotto dei limiti + Hopital :
= $ \lim_(x->-infty) x $ * $lim _(x->-infty) 1 +(log(x^2 +1))/x
= $\-infty\ *lim _(x->-infty) 1 + 1/(x^2+1) * 2*x $ =
$\-infty * ( 1 + 0*2*(-\infty\)) $ =
$\-infty\ ?
Che Vi sembra?
$lim_ (x->-infty) x+log(x^2+1)$
proprieta' dei limiti: il limite del prodotto = al prodotto dei limiti + Hopital :
= $ \lim_(x->-infty) x $ * $lim _(x->-infty) 1 +(log(x^2 +1))/x
= $\-infty\ *lim _(x->-infty) 1 + 1/(x^2+1) * 2*x $ =
$\-infty * ( 1 + 0*2*(-\infty\)) $ =
$\-infty\ ?
Che Vi sembra?
Risposte
Ok per il risultato, ma il teorema di de l'Hopital è applicato male. Rifai i conti.
Un ultimo appunto. Non c'è bisogno di scomodare il teorema del marchese per stabilire il limite del secondo fattore: infatti se metti in evidenza $x^2$ ed applichi le proprietà del logaritmo trovi:
$1+(ln(x^2+1))/x=1+2(ln|x|)/x+(ln(1+1/x^2))/x$
e da fatti arcinoti sai che
$lim_(y\to +oo) (lny)/y=0\quad $ e $\quad lim_(x\to -oo)1/x^2 =0 => lim_(xto -oo) (ln(1+1/x^2))/x=0$
cosicché:
$lim_(x\to +oo)1+(ln(x^2+1))/x=1 \quad$.
Un ultimo appunto. Non c'è bisogno di scomodare il teorema del marchese per stabilire il limite del secondo fattore: infatti se metti in evidenza $x^2$ ed applichi le proprietà del logaritmo trovi:
$1+(ln(x^2+1))/x=1+2(ln|x|)/x+(ln(1+1/x^2))/x$
e da fatti arcinoti sai che
$lim_(y\to +oo) (lny)/y=0\quad $ e $\quad lim_(x\to -oo)1/x^2 =0 => lim_(xto -oo) (ln(1+1/x^2))/x=0$
cosicché:
$lim_(x\to +oo)1+(ln(x^2+1))/x=1 \quad$.
Credo di aver capito l'errore nell'Applicazione dell'Hopital
La derivata di $ log(f(x)) $ dovrebbe essere uguale a :
$ 1/f(x) * f'(x)$
e quindi nel nostro caso:
$ 1/(x^2+1) * 2x $
Ma se cosi' è allora il mio procedimento per arrivare come risultato finale a $-infty$ non mi tornerebbe piu'.
Puoi controllare?
Grazie.
La derivata di $ log(f(x)) $ dovrebbe essere uguale a :
$ 1/f(x) * f'(x)$
e quindi nel nostro caso:
$ 1/(x^2+1) * 2x $
Ma se cosi' è allora il mio procedimento per arrivare come risultato finale a $-infty$ non mi tornerebbe piu'.
Puoi controllare?
Grazie.
Perchè non funzionerebbe più?
Ricorda che tu stai facendo il $lim_(x\to -oo) 1+(ln(1+x^2))/x$ e che la forma indeterminata è solo nel secondo addendo...
Ricorda che tu stai facendo il $lim_(x\to -oo) 1+(ln(1+x^2))/x$ e che la forma indeterminata è solo nel secondo addendo...
Forse non ho capito o meglio : se applico 2 volte l'Hopital allora la forma di indetrrminazione va via, ma solo con Hopital una volta rimane.
"ANTONELLI ":
Forse non ho capito o meglio : se applico 2 volte l'Hopital allora la forma di indetrrminazione va via, ma solo con Hopital una volta rimane.
$lim_(x->-infty)(2x)/(x^2+1)=0$ (il numeratore è di ordine inferiore rispetto al denominatore e non serve riapplicare l'Hopital)
= $ \lim_(x->-infty) x $ $* $ $lim _(x->-infty) 1 +(log(x^2 +1))/x
in simboli abbiamo
$ -infty*(1+0)=-infty$
ti torna?
OK grazie mi era sfuggito.
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