Limite.
Ragazzi, mi dareste una mano con questo limite:
$lim_(x \to 0) frac{log(1 + senh(tg^2x - sen^2x))}{(sqrt(1+x)- 1) arctg^3x}$
Ho già ridotto il numeratore al contenuto dell'argomento della funzione $senh$: $tg^2x - sen^2x$.
Il denominatore l'ho ridotto a $1/2 x^4$.
Dopodichè non so più andare avanti.
P.S.- Scusate le parentesi ridondanti.
$lim_(x \to 0) frac{log(1 + senh(tg^2x - sen^2x))}{(sqrt(1+x)- 1) arctg^3x}$
Ho già ridotto il numeratore al contenuto dell'argomento della funzione $senh$: $tg^2x - sen^2x$.
Il denominatore l'ho ridotto a $1/2 x^4$.
Dopodichè non so più andare avanti.
P.S.- Scusate le parentesi ridondanti.
Risposte
Provato a scrivere $tgx=(sinx)/(cosx)$ e a mettere un po' in evidenza e/o semplificare al numeratore?
Poi si potrebbe usare la relazione fondamentale $cos^2x=1-sin^2x$...
Poi si potrebbe usare la relazione fondamentale $cos^2x=1-sin^2x$...
Davvero, ho fatto sia la prima cosa che la seconda. Penso che il problema stia nel fatto che non sono riuscito a rilevare asintoticità e/o altri elementi utili.
Se mi assicuri che bisogna fare così ci riprovo
Se mi assicuri che bisogna fare così ci riprovo
Hai:
$tan^2x-sin^2x=(sin^2x)/(cos^2x)(1-cos^2x)=sin^4x*1/(cos^2x)$
epperò il fattore $1/(cos^4x)$ ha limite $1$ per $x\to 0$, quindi non dà problemi.
D'altra parte $sin^4x$ è equivalente allo $x^4$ che hai a denominatore (per il limite fondamentalissimo)... Più semplice di così.
Evidentemente avevi sbagliato a fare i calcoli.
$tan^2x-sin^2x=(sin^2x)/(cos^2x)(1-cos^2x)=sin^4x*1/(cos^2x)$
epperò il fattore $1/(cos^4x)$ ha limite $1$ per $x\to 0$, quindi non dà problemi.
D'altra parte $sin^4x$ è equivalente allo $x^4$ che hai a denominatore (per il limite fondamentalissimo)... Più semplice di così.
Evidentemente avevi sbagliato a fare i calcoli.
No, avevo messo in evidenza, dopo aver posto le equivalenze, sia $sen^2x$ che $cos^2x$, e non l'avevo fatto per la tangente. Comunque grazie, il risultato è proprio $2$.
Ho quest'altro irriducibile 
La cosa che mi pare di poter fare per tutti i limiti che si presentano in forma indeterminata $0/0$ è quella di ricondurre le somme a prodotti, oppure i rapporti a rapporti che non si presentino in forme indeterminate.
Mi capita il limite:
$lim_(x \to 0) (sqrt(x+3/3^x + 2)- 1)/arctgx$
Provo ad aggiungere e sottrarre $1$ al di sotto della radice, rilevando un'asintoticità notevole al primo membro. Ottengo la forma
$lim_(x \to 0) 1/2((frac{x+3}{3^x + 2}) - 1)/x$,
dopodichè non riesco ad andare avanti.
La cosa che mi pare di poter fare per tutti i limiti che si presentano in forma indeterminata $0/0$ è quella di ricondurre le somme a prodotti, oppure i rapporti a rapporti che non si presentino in forme indeterminate.
Mi capita il limite:
$lim_(x \to 0) (sqrt(x+3/3^x + 2)- 1)/arctgx$
Provo ad aggiungere e sottrarre $1$ al di sotto della radice, rilevando un'asintoticità notevole al primo membro. Ottengo la forma
$lim_(x \to 0) 1/2((frac{x+3}{3^x + 2}) - 1)/x$,
dopodichè non riesco ad andare avanti.
Guarda che il limite non è in forma indeterminata...
Ma forse c'è un $-2$ nel radicando, al posto di $+2$?
Ma forse c'è un $-2$ nel radicando, al posto di $+2$?
Maledizione, non mi sono accorto di aver scritto un limite sbagliato, scusa Gugo.
Il limite corretto è:
$lim (x \to 0) (frac {sqrt((x+3)/(3^x +2)) - 1}{arctgx})$
N.B. - Non so se si capisce, anche il termine $3^x + 2$ fa parte del radicando.
Il limite corretto è:
$lim (x \to 0) (frac {sqrt((x+3)/(3^x +2)) - 1}{arctgx})$
N.B. - Non so se si capisce, anche il termine $3^x + 2$ fa parte del radicando.
Il trucco è proprio quello che ti ha suggerito l'esperienza, ossia scrivere:
$(\sqrt((x+3)/(3^x+2))-1)/(arctg x)=(\sqrt((x+3)/(3^x+2))-1)/((x+3)/(3^x+2)-1)*((x+3)/(3^x+2)-1)/x*x/(arctg x)$
di modo che il primo fattore del secondo membro dia limite $1/2$ ed il terzo dia limite $1$; rimane perciò da stabilire che cosa fa il rapporto:
$((x+3)/(3^x+2)-1)/x$
quando $x\to 0$. Fai il m.c.m. e con un po' di passaggi trovi:
$1/(3^x+2)*(1-(3^x-1)/x)$
in cui nessuno dei due fattori dà problemi (sono entrambi convergenti).
Ti lascio stabilire il perchè e quanto sia il risultato finale del limite.
$(\sqrt((x+3)/(3^x+2))-1)/(arctg x)=(\sqrt((x+3)/(3^x+2))-1)/((x+3)/(3^x+2)-1)*((x+3)/(3^x+2)-1)/x*x/(arctg x)$
di modo che il primo fattore del secondo membro dia limite $1/2$ ed il terzo dia limite $1$; rimane perciò da stabilire che cosa fa il rapporto:
$((x+3)/(3^x+2)-1)/x$
quando $x\to 0$. Fai il m.c.m. e con un po' di passaggi trovi:
$1/(3^x+2)*(1-(3^x-1)/x)$
in cui nessuno dei due fattori dà problemi (sono entrambi convergenti).
Ti lascio stabilire il perchè e quanto sia il risultato finale del limite.
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