Limite

[geovito]

Mi aiutate con questo limite?
grazie



$lim_(x->0)(log(3^x-1+2 sin^2x)+3^xlog(arctgx))/(log(3sinx+1-cosx)+(arctg2^x)logx)$
Risultato $8/(pi+4)$

Per risolverlo posso usare:
limiti notevoli
infiniti/infinitesimi
e Hopital, senza svilupo in serie.
grazie

[dissonance]

Ahem.
[mod="dissonance"][tratto da: "Regole generali di matematicamente.it Forum"]
...
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
...
[/mod]
Indica almeno un inizio... Hai controllato che tipo di indeterminazione c'è, se c'è?

[leena1]

Guarda bene questi limiti notevoli:
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710172656/

Inizia a farti un'idea..

[geovito]

E un' indeterminazione del tipo $infty/infty$
Ho sostituito $3^x$ con 1 (per $x->0$.
poi ho diviso l'argomento di tutti i logaritmi per x, in maniera da riconsurmi a limiti notevoli o a eliminare del tutto il logaritmo tipo $logx/x$ a denominatore.
poi ho applicato l'Hopital, ma non ho sortito nessun effetto sperato.
E' lecito cio che ho fatto o va approntato in maniera diversa?
Grazie

[leena1]

Per quanto riguarda la sostituzione non è lecita, con un logaritmo nel momento in cui sostituisci, vuol dire che stai risolvendo e lo devi fare per tutte le x del limite.

Mi ero confusa cmq, il limite notevole riguardante il logaritmo è quando esso tende a 1, in questo caso invece i tuoi logaritmi tendono tutti a zero..
Potresti provare ad applicare i limiti notevoli stesso all'interno del logaritmo e vedere che ti viene..

[Ska1]

$(log(x*((3^x -1)/x) + 2x^2 * ((sin(x))/x)^2) + 1*log(x))/(log (3x*((sin(x))/x) + x^2 * (1-cos(x))/(x^2)) + (\pi/4)log(x))$

Ora:
- $(3^x - 1)/x -> log(3)$
- $(sin(x))/x -> 1$
- $(1-cos(x))/x^2 -> 1/2$

quindi si ha

$( log(x * log(3) + 2x^2) + log(x) )/( log(3x + (x^2)/2) + \pi/4 log(x))$

per confronto asintotico a zero nei due logaritmi sono trascurabili le potenze di ordine superiore quindi

$(2log(x) + log(log(3)))/(log(3) + (\pi /4 +1)log(x))$

un numero finito rispetto a $log(x)$ per $x->0$ è trascurabile, quindi si ottiene il risultato: $2/(\pi/4 + 1) = 8/(\pi + 4)$.