Limite

[qxtr01]

Qual è quel teorema che giustifica questo passaggio? $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2-x+3=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2(1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2})=+\infty$

Ciò che voglio dire è che il primo limite è riferito ad una funzione definita su tutto $\mathbb{R}$, mentre il secondo è riferito ad un'altra funzione, definita su $\mathbb{R}\setminus{0}$, e deve esserci una giustificazione razionale per passare da una funzione ad un'altra.

Intuitivamente conosco la giustificazione, e cioè che siccome $x\rightarrow +\infty$, non ci interessa cosa fa la funzione nel punto $x=0$, ma vorrei sapere se esiste una giustificazione più formale a tal proposito.

Grazie.

[Megan00b]

La giustificazione è esattamente quella che hai scritto. Se vuoi puoi sostituire l'argomentazione <> con l'argomentazione <>. Oppure dici la stessa cosa guardando la definizione di limite infinito a $+infty$ ($AA M>0\ EE N>0\ AAx>N\ f(x)>M$).

[Megan00b]

Aggiungo che se vuoi essere pignolo potresti fare la stessa cosa per funzioni il cui dominio non contiene anche altri punti che non sono lo zero, basta aggiustare un po' la definizione di limite.

[ViciousGoblin]

Volendo fare un enunciato io direi:

Se $x_o\in[-\infty,\infty]$, $f$ e $g$ coincidono in un intorno di $x_o$ allora

$f$ ha limite per $x\to x_0$ se e solo se $g$ ha limite per $x\to x_0$

e in caso di esistenza i due limiti coincidono.

[qxtr01]

ok grazie credo di aver capito.