Limite

[Yayoyoddu]

$lim_(x->+oo)log((x+3)/(x+2))^(4/logx)$

Cercavo di risolvere questo limiti però non ci riesco... mi date una mano?
Io ho provato a risolverlo con l'uso di qualche sviluppo asintotico però mi perdo nei passaggi (sono alle prime armi con queste tecniche di risoluzione), ho anche cercato di ricondurmi a qualche limite notevole ma la cosa non è andata a buon fine...

[Gatto891]

Sperando di non dire qualche cavolata...

$log((x+3)/(x+2))^(4/logx) = log(1 + 1/(x+2))^(4/logx) = log(1 +1/(x+2))^((x+2)1/(x+2) (4/logx)) = loge^(4/((x+2)logx)) = 4/((x+2)logx) = 0$ ?

[Feliciano1]

nemmeno io vorrei dire cavolate ma il terzultimo = non mi convince molto.

[gugo82]

Ma applicare semplicemente le proprietà dei logaritmi non è 10000 volte meglio?

Ma $ln f^(g) =g*lnf$, o no???

[GIBI1]

$\log((x+3)/(x+2))^(4/(\log(x))) =4*(\log((x+3)/(x+2))/\log(x))$
Regola di L'Hospital:

$lim_(x\to +infty) -4/x=0$

[Gatto891]

@Feliciano: E' un limite notevole...

@Gugo: Ehm in effetti...

@Gibi: Mi sono perso qualche passaggio... cmq de L'Hopital

[gugo82]

DE L'HOPITAL???
Ma siamo impazziti?

Quella non è forma indeterminata!!!

[Yayoyoddu]

Madonna... chiedo scusa solo ora mi son reso conto di aver sbagliato con le parentesi!!

L'esercizio è cosi $[log(x+3)-log(x+2)]^(4/(logx))$

e quindi diventa $[log((x+3)/(x+2))]^(4/(logx))$


Ora è quello giusto.... scusatemi ma proprio non mi sono reso conto

[GIBI1]

gugo82 hai ragione, è semplicemente $0*0$.
Ora, comunque, non te la cavi con una semplice battuta: dimostrami perché facendo il limite delle derivate si ha lo stesso risultato.

[Yayoyoddu]

"GIBI": è semplicemente $0*0$.

dove?? se ti riferisci al log io ho raccolto una x a numeratore e denominatore, semplifichi e ti rimane $(log((1+3/x)/(1+2/x)))/logx$, ora dato che $x->+oo$ puoi dire che il numeratore è zero e denominatore $+oo$ quindi il tutto tende a zero, ora se il mio ragionamento è corretto viene $4 x 0$.

[gugo82]

"GIBI":gugo82 hai ragione, è semplicemente $0*0$.
Ora, comunque, non te la cavi con una semplice battuta: dimostrami perché facendo il limite delle derivate si ha lo stesso risultato.

Semplicemente, è un caso.


P.S.: Sei sicuro di aver derivato bene? Non ho controllato i calcoli...

[clockover]

Allora io ho ragionato così!
$log((x + 3)/(x + 2))$ è ovviamente uguale a $log(1 + 1/(x + 2))$ e quindi per $t->0$, $logt \sim t$ abbiamo (trascurando quel $2$ a denominatore) $log(1/x)$

quindi il nostro limite passato direttamente a esponenziale diventa $lim_(x->+infty) e^((4*log(1/x))/logx)$ e quindi $lim_(x->+infty) e^((-4*logx/logx)$
semplificando i logaritmi abbiamo come risultato $1/e^4$

Tutto giusto??

[dissonance]

"Gugo82":[quote="GIBI"]gugo82 hai ragione, è semplicemente $0*0$.
Ora, comunque, non te la cavi con una semplice battuta: dimostrami perché facendo il limite delle derivate si ha lo stesso risultato.

Semplicemente, è un caso.[/quote]
Penso che GIBI si riferisca a questo fatto: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#260690
La regola di l'Hopital funziona anche se il rapporto $(f(x)/g(x))$ non è una forma indeterminata per $x\tox_0$, se $g(x)\to+-infty$. In quel caso infatti, anche il rapporto delle derivate tenderà a zero. Nel link c'è una discussione di un po' di tempo fa in cui abbiamo parlato proprio di questa curiosità.

[gugo82]

Ah, me l'ero persa... Era nella settimana di pausa dopo la laurea.

[Yayoyoddu]

"clockover":Allora io ho ragionato così!
$log((x + 3)/(x + 2))$ è ovviamente uguale a $log(1 + 1/(x + 2))$ e quindi per $t->0$, $logt \sim t$ abbiamo (trascurando quel $2$ a denominatore) $log(1/x)$

quindi il nostro limite passato direttamente a esponenziale diventa $lim_(x->+infty) e^((4*log(1/x))/logx)$ e quindi $lim_(x->+infty) e^((-4*logx/logx)$
semplificando i logaritmi abbiamo come risultato $1/e^4$

Tutto giusto??

Si ora è giusto... ascolta, mi spieghi il passaggio con gli sviluppi asintoti? Io sono una frana e vorrei capire come si fanno.

p.s comunque si riesce a risolverlo anche senza gli sviluppi.

[clockover]

"Yayoyoddu":[quote="clockover"]Allora io ho ragionato così!
$log((x + 3)/(x + 2))$ è ovviamente uguale a $log(1 + 1/(x + 2))$ e quindi per $t->0$, $logt \sim t$ abbiamo (trascurando quel $2$ a denominatore) $log(1/x)$

quindi il nostro limite passato direttamente a esponenziale diventa $lim_(x->+infty) e^((4*log(1/x))/logx)$ e quindi $lim_(x->+infty) e^((-4*logx/logx)$
semplificando i logaritmi abbiamo come risultato $1/e^4$

Tutto giusto??

Si ora è giusto... ascolta, mi spieghi il passaggio con gli sviluppi asintoti? Io sono una frana e vorrei capire come si fanno.

p.s comunque si riesce a risolverlo anche senza gli sviluppi.[/quote]

Si usano semplicemente gli sviluppi di McLaurin! In questo caso avevamo $log(1 + 1/(x + 2))$, dove ovviamente quel $+2$ era trascurabile rispetto ad un infinito, e quel $1/x$ ci permette di utilizzare gli sviluppi, dato che $1/infty$ tende a $0$!

[Yayoyoddu]

No su quello ok... il mio dubbio è come ci si comporta con l'uso dell' O (o grande)? Che approssimazione devo inserire e perché?
Scusate le domande stupide ma sono molto insicuro con questi metodi di risoluzione.