Limite
qualcuno, a quest'ora, mi odierà. Purtroppo stesso problema: con limiti notevoli sto trovando sempre forme 'indeterminazione(stavolta del tipo 0/0), dalle quali non riesco ad uscirne con l'uso dei limiti notevoli(ma non voglio applicare de L'Hopital).
Il limite è :
$lim_{x to 0^+} ((sinx)^(1/logx) -e)/((1+sinx)^(1/x) -e)$
pensavo di cavarmela con poco, e invece....
(ho già provato ad applicare alcuni limiti notevoli ma, come ho appunto scritto sopra, non riesco ad uscire dall'indeterminazione; spero in suggerimenti, forti del fatto che non debba utilizzare de l'Hopital)
Grazie per la pazienza e scusate il disturbo (notturno).
alex
Il limite è :
$lim_{x to 0^+} ((sinx)^(1/logx) -e)/((1+sinx)^(1/x) -e)$
pensavo di cavarmela con poco, e invece....
(ho già provato ad applicare alcuni limiti notevoli ma, come ho appunto scritto sopra, non riesco ad uscire dall'indeterminazione; spero in suggerimenti, forti del fatto che non debba utilizzare de l'Hopital)
Grazie per la pazienza e scusate il disturbo (notturno).
alex
Risposte
Quel limite fa 0. Metti e in evidenza a numeratore e denominatore, poi fai minimo comune multiplo degli esponenti, poi moltiplichi e dividi per qualcosa e ti trovi dei limiti notevoli. Alla fine esce una cosa del tipo $-1/oo$.
Se non ci riesci posta che cercherò di essere più dettagliato.
Se non ci riesci posta che cercherò di essere più dettagliato.
"Feliciano":
Quel limite fa 0. Metti e in evidenza a numeratore e denominatore, poi fai minimo comune multiplo degli esponenti, poi moltiplichi e dividi per qualcosa e ti trovi dei limiti notevoli. Alla fine esce una cosa del tipo $-1/oo$.
Se non ci riesci posta che cercherò di essere più dettagliato.
Sei stato chiarissimo nella spiegazione. Quindi attraverso limiti notevoli non ne potrei uscire vero? Ma non dovrebbe essere"quasi" sempre possibile raggirare mediante l'utilizzo di questi le forme indeterminate?
"bad.alex":
Sei stato chiarissimo nella spiegazione. Quindi attraverso limiti notevoli non ne potrei uscire vero? Ma non dovrebbe essere"quasi" sempre possibile raggirare mediante l'utilizzo di questi le forme indeterminate?
Sono stato chiarissimo??? E chi ha detto che con i limiti notevoli non ce la puoi fare! (comunque non credo si dimostri che mediante i limiti notevoli si può risolvere qualsiasi forma indeterminata)
Tornando a noi:
$lim_(x->0)(((sinx)^(1/logx)-e)/((1+sinx)^(1/x)-e))=lim_(x->0)(e^(1/logxlog(sinx)-1)-1)/(e^(1/xlog(1+sinx)-1)-1)=lim_(x->0)(e^((log(sinx)-logx)/(logx))-1)/(e^((log(1+sinx)-x)/(x))-1)$
Non vado avanti perchè ho trovato un errore nel mio ragionamento.
Adesso devo mettermi un po' a studiare ma dopo cerco di risolvere altrimenti mi dispiace ma per il momento non posso esserti d'aiuto.
Ciao
Risolto Feliciano. Ti ringrazio! Posto il procedimento:
$lim_(x to 0)(e^(1/(logx)logsinx)-e)/(e^((1/x)log(1+sinx))-e)$=
trascuro un momento lim per x che tende a 0+ per comodità di scrittura. Raccogliendo e a fattor comune, posso scrivere il numeratore e denominatore come:
$(x/logx)log(sinx/(1+sinx))$ avendo semplificato 1 con -1 e avendo applicato le proprietà dei logaritmi.
così il limite di $log(sinx/(1+sinx))$ per x che tende a 0 è uguale a 1; $ x/logx$ -> 0 ....quindi, se non ho sbagliato a scrivere qualcosa o nel ragionamento, il limite dovrebbe essere 1*0=0. Come appunto da te "predetto".
$lim_(x to 0)(e^(1/(logx)logsinx)-e)/(e^((1/x)log(1+sinx))-e)$=
trascuro un momento lim per x che tende a 0+ per comodità di scrittura. Raccogliendo e a fattor comune, posso scrivere il numeratore e denominatore come:
$(x/logx)log(sinx/(1+sinx))$ avendo semplificato 1 con -1 e avendo applicato le proprietà dei logaritmi.
così il limite di $log(sinx/(1+sinx))$ per x che tende a 0 è uguale a 1; $ x/logx$ -> 0 ....quindi, se non ho sbagliato a scrivere qualcosa o nel ragionamento, il limite dovrebbe essere 1*0=0. Come appunto da te "predetto".
Che il limite faccia zero ho pochi dubbi; però cosa ti fa dire che per x che tende a 0 questa quantità è 1???
(ti dico subito che non fa 1 ma -infinito)
"bad.alex":
Risolto Feliciano. Ti ringrazio! Posto il procedimento:
...
così il limite di $log(sinx/(1+sinx))$ per x che tende a 0 è uguale a 1;
...
(ti dico subito che non fa 1 ma -infinito)
"Feliciano":
(ti dico subito che non fa 1 ma -infinito)
mmm...ma col cambio di variabile? se pongo y=sinx per x ->0 non dovrei trovare 1?sono confuso
Per $ x rarr 0^+$, $ln(x) rarr -\infty$.
Probabilmente ti stai confondendo per il fatto che $ln0 = 1$
Probabilmente ti stai confondendo per il fatto che $ln0 = 1$
"Gatto89":
Per $ x rarr 0^+$, $ln(x) rarr -\infty$.
Probabilmente ti stai confondendo per il fatto che $ln0 = 1$
non ci sto proprio con la testa: se sostituisco a sinx, y per x->0^+ non trovo il limite notevole che dà 1?alla fine, sostituendo, trovo: $log(y/(1+y))$ il cui limite è proprio 1.
Ancora non sto capendo, perdonatemi.
Che sostituendo ti trovi quel limite siamo daccordo ma quel limite non fa 1 ma fa $-oo$ per y che tende a 0 da destra.
"Feliciano":
Che sostituendo ti trovi quel limite siamo daccordo ma quel limite non fa 1 ma fa $-oo$ per y che tende a 0 da destra.
Sto proprio fuori...praticamente, sto prendendo in considerazione, pari pari, il limite notevole: $lim_x to 0 (1+x)/x=1$.
Se sostituisco alla y/sinx il valore 0, trovo log0 che dà -oo, questo è ok. Ma come mai, riconducendomi a quel limite notevole, sono costretto a scrivere 1?
Tu hai $x/(1+x)$ Non il contrario.
"Feliciano":
Tu hai $x/(1+x)$ Non il contrario.
si, ma non dovrebbe in questo caso essere sempre 1 ( prendendo l'inverso)?
non credo che dovrebbe ma comunque ma non lo è anche perché se vai a sostituire alla x 0 ottieni $0/1=0$
"Feliciano":
dovrebbe (forse) ma non lo è anchew perché se vai a sostituire alla x 0 ottieni $0/1=0$
Infatti, è questo che non mi era chiaro. Secondo i teoremi è possibile considerare l'inverso della funzione, tenendo presente che il limite che si ottiene alla fine è l'inverso di quello originario. Grazie Feliciano.
Carissimo alex ti stai confondendo (e per qualche minuto ti ho anche creduto )
$lim_(x->0^+) (1+x)/x=+oo$ non 1! e quindi se andiamo a fare l'inverso esce 0 così come ci aspettavamo.
)$lim_(x->0^+) (1+x)/x=+oo$ non 1! e quindi se andiamo a fare l'inverso esce 0 così come ci aspettavamo.
"Feliciano":
Carissimo alex ti stai confondendo (e per qualche minuto ti ho anche creduto
$lim_(x->0^+) (1+x)/x=+oo$ non 1! e quindi se andiamo a fare l'inverso esce 0 così come ci aspettavamo.
mmm...mi sa che ho un formulario errato
grazie mille feliciano.
Certo che, se dovessi raccogliere a fattor comune la x, anche in quel caso cadrebbe l'asino perchè mi porterebbe 1...pons asinorum!!! Ti prego di non confonderti con quel che dico. Quasi sempre(beh...togliamo il quasi!!!
) è sbagliato. Grazie infinite.
Calma e sangue freddo.
Se metti in evidenza la x ottieni $lim_(x->o^+)(1/x+1)=+oo.
Quindi nessun problema
(a questo livello la matematica non è un opinione)
Se metti in evidenza la x ottieni $lim_(x->o^+)(1/x+1)=+oo.
Quindi nessun problema
(a questo livello la matematica non è un opinione)
Tornando al problema iniziale sono riuscito a trasformare quel limite in
$lim_(x->0) 0*(log(sinx/x)/(log(1+sinx)-x))$
Adesso tutta la quantità inparentesi tende a $1/3$; quindi $0*1/3=0$ che è proprio il valore del limtie che stiamo cercando.
Adesso il problema è solo che il fatto che quella quantità in parentesi tenda a $1/3$ lo ho visto col computer ma a mano non riesco a togliere quella forma indeterminata.
Se risolviamo questa cosa ti posto anche come ho fatto ad arrivare a questa forma.
Comunque quest'esercizio non mi sembra banale anche perchè pur volendo applicare Taylor non è così immediato (o siamo forse noi che ormai non riusciamo più a guardarlo in maniera fredda e razionale )
$lim_(x->0) 0*(log(sinx/x)/(log(1+sinx)-x))$
Adesso tutta la quantità inparentesi tende a $1/3$; quindi $0*1/3=0$ che è proprio il valore del limtie che stiamo cercando.
Adesso il problema è solo che il fatto che quella quantità in parentesi tenda a $1/3$ lo ho visto col computer ma a mano non riesco a togliere quella forma indeterminata.
Se risolviamo questa cosa ti posto anche come ho fatto ad arrivare a questa forma.
Comunque quest'esercizio non mi sembra banale anche perchè pur volendo applicare Taylor non è così immediato (o siamo forse noi che ormai non riusciamo più a guardarlo in maniera fredda e razionale
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo