Limite

[fed_27]

Salve a tutti ho un limite che non riesco a risolvere

lim di x che tende a 0 di $(sqrt(x^2 +1)-cosx-x^2)/(2(log(1+x)-x) + x^2)$

ho pensato di farlo con taylor ma probabilmente sbaglio i calcoli mi sapreste dire voi come avreste fatto
grazie

[Alexp1]

Ciao,
ho rifatto per bene i calcoli e mi è risultato $0/4$ ossia $0$

[fabioamd87]

sviluppando con McLaurin fino a grado 2 viene 0/0 mentre fino al grado 4 mi viene

$(-4/24x^4)$/$(2x^3/3+4x^4/2)$

[Feliciano1]

"fabioamd87":sviluppando con McLaurin fino a grado 2 viene 0/0 mentre fino al grado 4 mi viene

$(-4/24x^4)$/$(2x^3/3+4x^4/2)$

E quindi??Qual è il problema? Quale difficoltà hai a concludere che il limtie fa 0?
Cioè immagino sia noto che $x^4$ vada a zero più velocemente di $x^3$? Oppure se non lo vedi a occhio o hai necessità di essere più preciso puoi provare a mettere $x^4$ al denominatore in evidenza e vedere cosa succede.

Solo una cosa sviluppando fino al quarto ordine al denominatore viene $2/3x^3-x^4/2$ (più gli o piccoli naturalmente) ma la sostanza non cambia

[fabioamd87]

ma $x^4$ è presente sia al numeratore che al denominatore quindi in teoria si guardano i coefficienti o sbaglio? quello solo quando il limite tende ad infinito?

[Feliciano1]

guarda il mio personale consiglio (per quel che può valere) è di ignorare queste pseudoregole a meno che non si è padroni al 200% della questione. Quindi secondo me ti conviene di mettere $x^4$ in evidenza al denominatore e poi fare tutti i passaggi fino a che scopri che il limtie è 0.
Anzi a questo punto mi viene da consigliarti di non dimenticarti di scrivere anche gli o piccoli e di non trascurarli durante i calcoli perché sono una cosa molto importante.

[fabioamd87]

il fatto è che il limite non fà 0, ma 0/0 nei miei calcoli, per quale motivo dovrebbe fare 0?

[Feliciano1]

Ok te lo scrivo io (speriamo che i moderatori non si arrabbino)

$=\lim_{x \to \0}(-1/6x^4+o(x^4))/(2/3x^3-1/2x^4+o(x^4))$

e fin qui dovremmo essere daccordo

$=\lim_{x \to \0}(-1/6x^4+(o(x^4)))/(x^4(2/(3x)-1/2+((o((x^4)))/x^4))$

ora per la definizione di o piccolo (la conosci?)
$=\lim_{x \to \0}(-1/6x^4+(o(x^4)))/((x^4(2/(3x)-1/2+0)))=\lim_{x \to \0}(-1/6x^4)/((x^4(2/(3x)-1/2)))+\lim_{x \to \0}(o(x^4))/((x^4(2/(3x)-1/2)))=\lim_{x \to \0}(-1/6)/(2/(3x)-1/2)+0=\lim_{x \to \0}(-1/6)/((4-3x)/(6x))=\lim_{x \to \0}(-x/(4-3x))$
che per "continuità" diventa $0/4=0$

Spero di non aver fatto errori comunque chiedi se non è chiaro.

[Alexp1]

Ciao Feliciano, ho visto che abbiamo risposto quasi simultaneamente....comunque risulta esattamente così anche a me $0/4$...quindi presumo che sia giusto!!!

Ciao

[fabioamd87]

per caso al terzo passaggio della penultima manca 1/6 al denominatore? se è cosi credo di aver capito

riguarando, hai diviso il limite in 2 limiti giusto?

cmq ho trovato dove studiarmi tutto per bene: http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica

unica domanda, nel caso di una radice, dove si piazza nell'ordine delle funzioni che tendono ad infinito? O viene trattata semplicemente come una potenza?
tnx 1000

[fed_27]

grazie mille a tutti non ho risposto ieri perke non c'er cmq anche io mio trovato cosi solo che forse non c'ero piu con la testa l'ultimo passaggio invece di 0/4 mi veniva 1/3