Limite
In questo limite $\lim_{x \to 0}(x^2-x^3-(sinx)^2)/(x^2e^(2x)-(log(1+x))^2$ ci vedo qualcosa di familiare, ovvero riesco a riconoscere dei limiti notevoli ma non so come procedere.
In generale, mi sono capitati altri limiti di questo tipo, in cui si riconosco delle forme notevoli, ma non so come procedere, come metterle in evidenza e separarle dal resto.
Qualche consiglio? Cosi provo a risolverlo.
Grazie.
In generale, mi sono capitati altri limiti di questo tipo, in cui si riconosco delle forme notevoli, ma non so come procedere, come metterle in evidenza e separarle dal resto.
Qualche consiglio? Cosi provo a risolverlo.
Grazie.
Risposte
Io userei gli sviluppi asintotici , il risultato è $-1/3 $ .
"Camillo":
Io userei gli sviluppi asintotici
Non mi è mai capitato di trattarli in questo modo e non conosco il metodo.
Ci sono alternative?
In realtà, forse, ho capito a cosa ti riferivi.
Avrò che $sinx~x$ per $x\to0$ e $log(1+x)~x$ per $x\to0$ giusto?
Il fatto che siano elevati al quadrato cosa comporta?
Grazie.
Avrò che $sinx~x$ per $x\to0$ e $log(1+x)~x$ per $x\to0$ giusto?
Il fatto che siano elevati al quadrato cosa comporta?
Grazie.
Sì a quello mi riferivo : non è però detto a priori che sia corretto fermarsi allo sviluppo del primo ordine.
Se approssimi, per $ x rarr 0 $, la funzione $sin x $ ad esempio con $ x-x^3/6 $ dovrai elevare al quadrato l'espressione : va poi deciso opportunamente a che ordine di infinitesimo fermarsi : se mi fermo troppo presto incorro in un errore , se vado troppo avanti complico inutilmente i calcoli.
Se approssimi, per $ x rarr 0 $, la funzione $sin x $ ad esempio con $ x-x^3/6 $ dovrai elevare al quadrato l'espressione : va poi deciso opportunamente a che ordine di infinitesimo fermarsi : se mi fermo troppo presto incorro in un errore , se vado troppo avanti complico inutilmente i calcoli.
Chiaro.
Ti chiedo allora un'altra cosa, in questo caso a che ordine ti sei fermato e per quale motivo?
Grazie.
Ti chiedo allora un'altra cosa, in questo caso a che ordine ti sei fermato e per quale motivo?
Grazie.
Anche mediante Hopital (applicato più volte) si può giungere allo stesso risultato!
Dipende dalle varie funzioni :
$ sin x $ al primo cioè $x $ in quanto essendo al quadrato se l'avessi sviluppato come $ x-x^3/6 $ avrei ottenuto termini anche di quarto(doppio prodotto) e sesto grado .
$ e^(2x) $ fino al secondo cioè $ 1+2x $ , considerando che è moltiplicato per $x^2$ ottengo $ x^2+2x^3 $ e al numeratore ho termini in $x^3 $ quindi congruente.
$log(1+x) $ fino al secondo cioè $ x-x^2/2 $ perchè essendo al quadrato ottengo alla fine$ x^2-x^3 +x^4/4 $ congruente con gli altri : $x^4/4 $ appare solo qui e posso allora trascurarlo chiamandolo $o(x^3 ) $.
Prova a completare l'esercizio e per capire dove fermarsi prova ad andare oltre negli sviluppi e capirai che è inutile : se invece ad es. nello sviluppo di $ log(1+x) $ ti fermi a $ x $ vedrai che è scorretto e capirai perchè...
$ sin x $ al primo cioè $x $ in quanto essendo al quadrato se l'avessi sviluppato come $ x-x^3/6 $ avrei ottenuto termini anche di quarto(doppio prodotto) e sesto grado .
$ e^(2x) $ fino al secondo cioè $ 1+2x $ , considerando che è moltiplicato per $x^2$ ottengo $ x^2+2x^3 $ e al numeratore ho termini in $x^3 $ quindi congruente.
$log(1+x) $ fino al secondo cioè $ x-x^2/2 $ perchè essendo al quadrato ottengo alla fine$ x^2-x^3 +x^4/4 $ congruente con gli altri : $x^4/4 $ appare solo qui e posso allora trascurarlo chiamandolo $o(x^3 ) $.
Prova a completare l'esercizio e per capire dove fermarsi prova ad andare oltre negli sviluppi e capirai che è inutile : se invece ad es. nello sviluppo di $ log(1+x) $ ti fermi a $ x $ vedrai che è scorretto e capirai perchè...
Grazie per le spiegazioni.
In effetti si può anche utilizzare l'Hopital, se non sbaglio derivando tre volte...
Grazie!
In effetti si può anche utilizzare l'Hopital, se non sbaglio derivando tre volte...
Grazie!
io metterei in evidenza $x^2$ sia al numeratore che al denominatore...dovrebbe uscire qualcosa d + umano...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo