Limite

[bad.alex]

ragazzi, ho provato a calcolare il seguente limite, tenendo conto dei limiti notevoli:

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))$

io ho svolto:
$( (e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/log(1+x^4)+2x^2/log(1+x^4)$
con de l'hospital ottengo 2 soltanto che volevo provare ad utilizzare i limiti notevoli. avrei dovuto tenere forse in considerazione prima dell'esponenziale il limite notevole del logaritmo? vi ringrazio per le risposte, alex

[carmelina2]

sei proprio sicuro che faccia $2$ ? a me viene -infinito....il procedimento che hai usato credo sia giusto ma dovevi utilizzare il limite notevole sui log...cmq l'hopital non si puo applicare ad una somma............
ciao......carmelina

[bad.alex]

"carmelina":sei proprio sicuro che faccia $2$ ? a me viene -infinito....il procedimento che hai usato credo sia giusto ma dovevi utilizzare il limite notevole sui log...cmq l'hopital non si puo applicare ad una somma............
ciao......carmelina

...ma la forma iniziale è 0/0...il risultato è 2, anche sul libro è riportato. ma cme mai devo procedere con l log e non con l'esponenziale? il dubbio mi è sorto, e ho provato con entrambi ma niente..

[Kroldar]

Ricordiamo che

$e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + o(x^3) AA x in RR$

$log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^3) AA |x|<1$

Ciò premesso, risulta

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4)) = lim_(x to 0) (1 - 2x^2 + 2x^4 + o(x^4) - 1 + 2x^2)/(x^4 + o(x^4)) = lim_(x to 0) (2x^4 + o(x^4))/(x^4 + o(x^4)) = 2$

[gugo82]

"bad.alex":ragazzi, ho provato a calcolare il seguente limite, tenendo conto dei limiti notevoli:

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))$

io ho svolto:
$( (e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/log(1+x^4)+2x^2/log(1+x^4)$
con de l'hospital ottengo 2 soltanto che volevo provare ad utilizzare i limiti notevoli.

Fin qui tutto a posto.
Continuiamo:

(*) $quad ((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/log(1+x^4)+2x^2/log(1+x^4)=((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/(x^4)*((x^4)/log(1+x^4))+(2x^2)/(x^4)*((x^4)/log(1+x^4))=
$quad = -2((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*1/x^2*((x^4)/log(1+x^4))+2/x^2*((x^4)/log(1+x^4)) quad$;

ora si ha:

$lim_(x to 0)(-2)*((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*1/x^2*((x^4)/log(1+x^4))=(-2)*1*(+oo)*1=-oo quad$ e $quad lim_(x to 0) 2/x^2*((x^4)/log(1+x^4))=+oo$

quindi il limite dell'ultimo membro di (*) si presenta in forma indeterminata $-oo+oo$ ed i calcoli che abbiamo fatto sono di fatto inutili.


Adesso proviamo in altro modo, ricorrendo alla formula di Taylor.
Abbiamo:

(**) $quad (e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=x^4/(log(1+x^4))*(e^(-2x^2)-1+2x^2)/x^4 quad$;

d'altra parte, dalla teoria dei polinomi di Taylor sai che $e^y=1+y+1/(2!)y^2+o(y^3)$ onde sostituendo $y=-2x^2$ nel precedente polinomio trovi che:

$e^(-2x^2)=1-2x^2+1/2(-2x^2)^2+o((-2x^2)^3)=1-2x^2+2x^4+o(x^6) quad => quad e^(-2x^2)-1+2x^2=2x^4+o(x^6) quad$;

vedi che al primo membro dell'ultima tra le uguaglianze precedenti è presente il numeratore del secondo fattore del secondo membro di (**) cosicché è possibile sostituire in (**) quanto trovato ottenendo:

$(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=x^4/(log(1+x^4))*(2x^4+o(x^6))/x^4$.

Ora abbiamo:

$lim_(x to 0) x^4/(log(1+x^4))=1 quad$ e $quad lim_(xto 0) (2x^4+o(x^6))/x^4=2 quad$ (quell'infinitesimo $o(x^6)$ è trascurabile rispetto a $2x^4$)

e perciò possiamo infine scrivere:

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=lim_(x to 0) x^4/(log(1+x^4))*lim_(xto 0) (2x^4+o(x^6))/x^4=1*2=2$.

Capito il metodo che ho usato? (che poi è quello usato anche da Kroldar più sopra )

[bad.alex]

"Gugo82":[quote="bad.alex"]ragazzi, ho provato a calcolare il seguente limite, tenendo conto dei limiti notevoli:

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))$

io ho svolto:
$( (e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/log(1+x^4)+2x^2/log(1+x^4)$
con de l'hospital ottengo 2 soltanto che volevo provare ad utilizzare i limiti notevoli.

Fin qui tutto a posto.
Continuiamo:

(*) $quad ((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/log(1+x^4)+2x^2/log(1+x^4)=((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*(-2x^2)/(x^4)*((x^4)/log(1+x^4))+(2x^2)/(x^4)*((x^4)/log(1+x^4))=
$quad = -2((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*1/x^2*((x^4)/log(1+x^4))+2/x^2*((x^4)/log(1+x^4)) quad$;

ora si ha:

$lim_(x to 0)(-2)*((e^(-2x^2)-1)/(-2x^2))*1/x^2*((x^4)/log(1+x^4))=(-2)*1*(+oo)*1=-oo quad$ e $quad lim_(x to 0) 2/x^2*((x^4)/log(1+x^4))=+oo$

quindi il limite dell'ultimo membro di (*) si presenta in forma indeterminata $-oo+oo$ ed i calcoli che abbiamo fatto sono di fatto inutili.


Adesso proviamo in altro modo, ricorrendo alla formula di Taylor.
Abbiamo:

(**) $quad (e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=x^4/(log(1+x^4))*(e^(-2x^2)-1+2x^2)/x^4 quad$;

d'altra parte, dalla teoria dei polinomi di Taylor sai che $e^y=1+y+1/(2!)y^2+o(y^3)$ onde sostituendo $y=-2x^2$ nel precedente polinomio trovi che:

$e^(-2x^2)=1-2x^2+1/2(-2x^2)^2+o((-2x^2)^3)=1-2x^2+2x^4+o(x^6) quad => quad e^(-2x^2)-1+2x^2=2x^4+o(x^6) quad$;

vedi che al primo membro dell'ultima tra le uguaglianze precedenti è presente il numeratore del secondo fattore del secondo membro di (**) cosicché è possibile sostituire in (**) quanto trovato ottenendo:

$(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=x^4/(log(1+x^4))*(2x^4+o(x^6))/x^4$.

Ora abbiamo:

$lim_(x to 0) x^4/(log(1+x^4))=1 quad$ e $quad lim_(xto 0) (2x^4+o(x^6))/x^4=2 quad$ (quell'infinitesimo $o(x^6)$ è trascurabile rispetto a $2x^4$)

e perciò possiamo infine scrivere:

$lim_(x to 0)(e^(-2x^2)-1+2x^2)/(log(1+x^4))=lim_(x to 0) x^4/(log(1+x^4))*lim_(xto 0) (2x^4+o(x^6))/x^4=1*2=2$.

Capito il metodo che ho usato? (che poi è quello usato anche da Kroldar più sopra )[/quote]
vi ringrazio ragazzi. Non sapevo si potesse applicare la formula d Taylor anche in questi esercizi..alex