Limite
Mi aiutate con questo limite? Grazie!
$lim_{x->0} (2xlog(1+x)-2x^2+sin (x^3))/(x^4)$
$lim_{x->0} (2xlog(1+x)-2x^2+sin (x^3))/(x^4)$
Risposte
E' $0/0$.....prova con de l'Hopital.....o forse direttamente con gli sviluppi di Mc Laurin
Mi aiuteresti a farlo con mclaurin?Io nn ho capito bene come funziona...
So che devo sostituire una funzione con il rispetivo sviluppo, ma a che ordine mi devo fermare? Come moltiplico e sommo gli sviluppi?
grazie
So che devo sostituire una funzione con il rispetivo sviluppo, ma a che ordine mi devo fermare? Come moltiplico e sommo gli sviluppi?
grazie
$ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)
$sin(x^3)=x^3+o(x^8)
$lim_{x->0} (2xln(1+x)-2x^2+sinx^3)/x^4=lim_{x->0}(2x(x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3))-2x^2+x^3+o(x^8))/x^4=
$lim_{x->0}(2x^2-x^3+2/3x^4+o(x^4)-2x^2+x^3)/(x^4)=lim_{x->0}(2/3x^4(1+o(1)))/x^4=2/3
$sin(x^3)=x^3+o(x^8)
$lim_{x->0} (2xln(1+x)-2x^2+sinx^3)/x^4=lim_{x->0}(2x(x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3))-2x^2+x^3+o(x^8))/x^4=
$lim_{x->0}(2x^2-x^3+2/3x^4+o(x^4)-2x^2+x^3)/(x^4)=lim_{x->0}(2/3x^4(1+o(1)))/x^4=2/3
ok grazie. il mio dubbio era il prodotto. Cioè se io nel limite avessi $sin x lnx$ come moltiplico gli sviluppi? E poi come scelgo il grado a cui fermarmi con lo sviluppo?
p.s.
In quel limite che mi hai mostrato, resta solo $x^4$ perchè infinitesimo di ordine superiore. Giusto? E $ o x^8$?
GRAZIE ancora
p.s.
In quel limite che mi hai mostrato, resta solo $x^4$ perchè infinitesimo di ordine superiore. Giusto? E $ o x^8$?
GRAZIE ancora
se tu avessi troncato al prim'ordine ti sarebbe venuto
$2xln(1+x)-2x+sinx^3=2x^2+o(x^2)-2x^2+x^3+o(x^3)=o(x^2)$ che non ci dà informazioni sufficienti
quindi per far sopravvivere il termine di terzo grado devi sviluppare di un grado in più il logaritmo; così facendo però l'addendo si elide con il termine di sviluppo del seno
perciò il logaritmo lo devi sviluppare al terzo grado (che diventa quarto per il fattore moltiplicativo), e anche il seno deve essere sviluppato almeno al 4° grado per non
farsi mangiare i termini di grado superiore. d'altra parte non c'è bisogno di fare tanto lavoro per sviluppare il seno visto che
$sinx=x-1/6x^3+o(x^4) => sinx^3=x^3-1/6x^9+o(x^12)$ quindi fra il termine 3 e il nove puoi stare tranquillo perchè non c'è niente e troncando all'ottavo grado
puoi scrivere tranquillamente $sinx^3=x^3+o(x^8)$ così il seno non mangia niente fino all'8° grado...
insomma... anche qui è tutto un magna magna.
spero di essermi spiegato
è evidente che la funzione $sinxln(1+x)$, ad esempio, per $x->0$ si comporta come $x(1+o(1))*x(1+o(1))=x^2+o(x^2)
p.s. per la precisione, $x^4$ non resta per il fatto di essere infinitesimo di ordine superiore.... e poi $o(x^4)+o(x^8)=o(x^4)
$2xln(1+x)-2x+sinx^3=2x^2+o(x^2)-2x^2+x^3+o(x^3)=o(x^2)$ che non ci dà informazioni sufficienti
quindi per far sopravvivere il termine di terzo grado devi sviluppare di un grado in più il logaritmo; così facendo però l'addendo si elide con il termine di sviluppo del seno
perciò il logaritmo lo devi sviluppare al terzo grado (che diventa quarto per il fattore moltiplicativo), e anche il seno deve essere sviluppato almeno al 4° grado per non
farsi mangiare i termini di grado superiore. d'altra parte non c'è bisogno di fare tanto lavoro per sviluppare il seno visto che
$sinx=x-1/6x^3+o(x^4) => sinx^3=x^3-1/6x^9+o(x^12)$ quindi fra il termine 3 e il nove puoi stare tranquillo perchè non c'è niente e troncando all'ottavo grado
puoi scrivere tranquillamente $sinx^3=x^3+o(x^8)$ così il seno non mangia niente fino all'8° grado...
insomma... anche qui è tutto un magna magna.
spero di essermi spiegatoè evidente che la funzione $sinxln(1+x)$, ad esempio, per $x->0$ si comporta come $x(1+o(1))*x(1+o(1))=x^2+o(x^2)
p.s. per la precisione, $x^4$ non resta per il fatto di essere infinitesimo di ordine superiore.... e poi $o(x^4)+o(x^8)=o(x^4)
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