Limite?

[lewis88]

salve raga....oggi ho fatto l esame di analisi 1...vi volevo chiedere
$lim_{x->0} (sin*1/x)(e^x-1)

io ho fatto così

$lim_{x->0} (1/x)/(1/x) (sin*1/x)(e^x-1)(x/x)

facendo così mi trvo i 2 limiti notevoli =1...poi le x rimanenti si semplificano...e il risultato.. è 1...
è fatto bene???

[_Tipper]

Be' no: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ non è un limite notevole. Per risolverlo basta moltiplicare e dividere per $x$, osservando che per $x \to 0$ risulta $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ (questo sì che è un limite notevole!), che il seno è limitato fra $-1$ e $1$ e che $x$ tende a zero. Ergo il limite fa zero.

[lewis88]

davvero no?
ma se il limite $x->0 sin(x) /(x) =1 ...
e limite $x->0 sin(2x) /(2x) =1
....xkè $x->0 sin(1/x) /(1/x) = $ non definitaaa

[lewis88]

ah ho capito :Cry: ....ke pirlaa! ...sol un altro dilemma..

il dominio di $e^sqrt(arctg(x)-pi/4)

[_Tipper]

Basta risolvere la disequazione $"arctg"(x) \ge \frac{\pi}{4}$. Considerando che $"arctg"(1) = \frac{\pi}{4}$ e che l'arcotangente è una funzione monotòna strettamente crescente in tutto il suo dominio si nota che la soluzione della precedente disequazione è $x \ge 1$.

[Dorian1]

Analisi 1... Quindi avrai sentito parlare della regola LIMITATA x INFINITESIMA = INFINITESIMA...

Nel nostro caso, la funzione $sen x$ dà valori compresi tra $-1$ ed $1$ (quindi è limitata), mentre $(e^x-1) rightarrow 0$ per $x rightarrow 0$ (infinitesima)
Morale della favola, il loro prodotto è infinitesimo, per il suddetto.