Limite

[mari35]

ciao! ho di nuovo un problema con i limiti: x->+oo

[a^(1/x) - b^(1/x)] / [c^(1/x) - d^(1/x)] qualcuno mi aiuta a risolverlo? grazie

[in_me_i_trust]

Secondo me si può ragionare così, allora intanto ti ricordo un limite notevole che serve poi nei passaggi che è il seguente

$\lim_(x->x_(0))\frac(e^f(x)-1)(f(x))$ con $f(x)$ una qualunque funzione che per tende a $0$ per $x->x_(0)$ ($x_(0)$ può essere anche $\infty$).

Ora faccio qualche passaggio algebrico sul tuo limite

$\frac(a^(1/x)-b^(1/x))(c^(1/x)-d^(1/x))=\frac(a^(1/x)(1-(b/a)^(1/x)))(c^(1/x)(1-(d/c)^(1/x)))=$

$=(a/c)^(1/x)\frac((b/a)^(1/x)-1)((d/c)^(1/x)-1)=(a/c)^(1/x)\frac(e^(\frac(\ln(b/a))(x))-1)(e^(\frac(\ln(d/c))(x))-1)$

e sfruttando il limite notevole che ti ho detto sopra si ha che $e^(\frac(\ln (b/a))(x))-1$ si approssima con $\frac(\ln (b/a))(x)$ ed inoltre $e^(\frac(\ln (d/c))(x))-1$ si approssima con $\frac(\ln (d/c))(x)$ mentre per $x->+\infty$ si ha che $(\frac(a)(c))^(1/x)->1$

in definitiva il imite completo tende quindi a

$\frac(\frac(\ln (b/a))(x))(\frac(\ln (d/c))(x))=\frac(\ln (b/a))(\ln (d/c))$

Uff..che faticaccia by by

[mari35]

scusa come trovi il logaritmo applicando hospital?

[AlfredJPK55]

Ciao a tutti qualcuno può aiutarmi a capire quali sono gli estremi di integrazione per questo integrale doppio?
∫∫T(x+2y)dxdy
dove T è la regione del piano delimitata dalle parabole di equazione: y=2x2 e y=1+x2