Limite

[miuemia]

quanto fa questo limite:

$lim_{n->oo}(1+sqrt{2}+...+root[n]n)/n$...
mi potete aiutare???

[Luca.Lussardi]

Teorema: se la successione $a_n$ è regolare allora anche la successione $b_n=(a_1+...+a_n)/n$ è regolare ed ammette lo stesso limite di $a_n$.

Si tratta di un noto risultato di Analisi 1.

[miuemia]

e come si dimostra questo risultato????nn l ho mai incontrato

[miuemia]

cosa si intende per regolare???

[zorn1]

Il noto teorema di Cesaro (oh povero Ernesto, sapeste, era mio paesano ) asserisce che $l=lim_n a_n => l = lim_n ((a_1+...+a_n)/n)$ ossia il limite di una successione è lo stesso che il limite della successione delle medie aritmetiche.

Dimostrazione : per ipotesi $AA epsilon >0, EE n_0 in NN: AA n>n_0, |a_n-l|
In virtù del risultato $lim_n (1+sqrt(2)+...+^nsqrt(n))/n=lim_n n^(1/n) =1$ essendo $lim_n n^(1/n)$ per un altro noto teorema di Cesaro, quello delle medie geometriche.

Infatti tale teorema asserisce $l=lim_n a_n => l = lim_n (a_1*...*a_n)^(1/n)$.

Per il teorema precedente: $lim_n (a_1*...*a_n)^(1/n) = lim_n e^(log((a_1*...*a_n)^(1/n)))=lim_n e^((log(a_1)+...+log(a_n))/n)=lim_n e^(log(a_n))= lim_n a_n$ come volevasi.

Con questo dimostro $lim_n n^(1/n) = lim_n (1*2*3/2*4/3...*(n-1)/(n-2)*n/(n-1))^(1/n)=lim_n n/(n-1) = 1$

[Luca.Lussardi]

Regolare significa che ammette limite, finito o no.