Limite

[f.bisecco]

Potreste farmi vedere come risolvereste questo limite?

$\lim_{x->0^+}(sqrt(3x^3+3x)-sqrt(3x))/(e^-(x^2/2)-(3/2)x^2-cos(2x))$

[_Tipper]

Prova con Taylor.

[f.bisecco]

Ci ho provato ma non riesco mi faresti vedere??

[_Tipper]

Sviluppando l'esponenziale e il coseno io arrivo a

$\frac{\sqrt{3x^3+3x} - \sqrt{3x}}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) - \frac{3}{2}x^2 - 1 + \frac{4}{2}x^2 + \frac{16}{4!}x^4 + o(x^4)}$

facendo i conti al denominatore si ottiene

$24 \frac{\sqrt{3x^3+3x} - \sqrt{3x}}{13x^4 + o(x^4)}$

Razionalizzando si ottiene

$24 \frac{3x^3}{(13x^4 + o(x^4)) (\sqrt{3x^3 + 3x} + \sqrt{3x})$

Dividendo sopra e sotto per $x^3$ si ottiene

$24 \frac{3}{(13x + o(x)) (\sqrt{3x^3 + 3x} + \sqrt{3x})}$

Per questo direi che il limite fa $+\infty$.

[Mega-X]

tipper scusa l'ignoranza ma $o(x)$ che funzione è?

[fireball1]

Il simbolo $o(x)$ non denota una sola funzione,
ma una famiglia di funzioni $f(x)$, aventi tutte la
stessa caratteristica, e precisamente tali che:
$lim_(x->0) (f(x))/x = 0

[Mega-X]

e la funzione $O(x)$ è anche una famiglia di funzioni tali che $lim_(xtooo)f(x)/x = oo$ ?!

[fireball1]

No, tali che il rapporto $(f(x))/x$ risulta definitivamente
limitato per $x->+oo$ (o anche $x->-oo$, dipende da cosa si considera).

[f.bisecco]

Grande Tipper ti ringrazio!!!

[_Tipper]

Figurati.

[Ext3rmin4tor]

Cmq $o(x)$ non è definita solo per $x rarr 0$ ma per un generico $x rarr chi$ basta che il limite dia 0

[Mega-X]

ma $O(x)$ deve dare anche $0$ oppure un generico $c in RR$ ?!

[_Tipper]

Che io sappia $f(x) = O(g(x))$ se e solo se $\exists c_1, c_2, x_0 \in \mathbb{R}$ t.c. $c_1 g(x) \le f(x) \le c_2 g(x)$ $\forall x > x_0$ (oppure $\forall x

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[fireball1]

"Tipper":Che io sappia $f(x) = O(g(x))$ se e solo se $\exists c_1, c_2, x_0 \in \mathbb{R}$ t.c. $c_1 g(x) \le f(x) \le c_2 g(x)$ $\forall x > x_0$ (oppure $\forall x

Che è la stessa cosa che ho scritto io nel caso particolare $g(x)=x$.

Per quanto riguarda $o(x)$ no, si scrive solo per $x->0$, mentre quando $x->x_0$ si scrive $o(x-x_0)$.
Ricordo che il simbolo di o piccolo si utilizza per fare confronti tra infinitesimi, e scrivere $o(x-x_0)$ quando
$x->a!=x_0$ non ha senso, in quanto $x-x_0$ tende ad $a-x_0$ per $x->a$, quindi in generale
non è un infinitesimo, a meno che, ovviamente, $a=x_0$.
Supponiamo di avere una funzione $f(x)$ che tende a 0 per $x->1$.
Non posso permettermi di scrivere ad esempio $f(x)=o(x)$ per $x->1$ (supponendo
che il rapporto $(f(x))/x$ sia definito in un intorno di 1 etc. etc.), perché l'argomento dell'o piccolo
non tende a zero. Potrei invece scrivere, sempre supponendo che $f(x)->0$ per $x->1$ e che
$f(x)$ sia un infinitesimo di ordine superiore a $x-1$ per $x->1$: $f(x)=o(x-1)$ per $x->1$.
In sostanza il simbolo di o piccolo $o(x-x_0)$ denota tutte quelle funzioni che sono infinitesime
di ordine superiore a $x-x_0$ per $x->x_0$, cioè che vanno a 0 "più velocemente" di $x-x_0$ quando $x->x_0$.