Limite
Il concetto di limite si fonda sul concetto di intorno, il quale può essere assimilato a quello di aperto. Quindi se su un certo dominio si cambia la topologia, un determinato limite che prima assumeva un ben preciso valore potrebbe assumerne un altro... Vorrei un esempio di questo fatto o magari una smentita.
Risposte
Secondo me l'unica tua chance è di prendere uno spazio topologico in cui la definizione di aperto possa essere ricondotta solo al fatto di appartenere alla topologia e non visualizzabile in maniera euclidea... dici che è sensata come cosa? Perchè se si rimane in $RR^{n}$ in generale, qualsiasi topologia si prenda le distanze sono quelle euclidee, e il concetto di limite non penso possa discostarsi da quello che tutti immaginiamo.. Ma potrei sempre sbagliare...
"Ravok":
qualsiasi topologia si prenda le distanze sono quelle euclidee
Non tutti gli spazi topologici sono spazi metrici... Magari
In realtà Kroldar ha ragione, cambiando la topologia, di solito cambia anche il valore dei limiti.
Ad esempio, se consideriamo $RR$ con la topologia delle semirette sinistre (aperti della forma $(-oo,a)$ con $ainRR$) è facile verificare che una successione non convergente come $(-1)^n$ non solo converge a $1$, ma a qualsiasi altro $a>1$.
Ad esempio, se consideriamo $RR$ con la topologia delle semirette sinistre (aperti della forma $(-oo,a)$ con $ainRR$) è facile verificare che una successione non convergente come $(-1)^n$ non solo converge a $1$, ma a qualsiasi altro $a>1$.
"Nicolas B":
Ad esempio, se consideriamo $RR$ con la topologia delle semirette sinistre (aperti della forma $(-oo,a)$ con $ainRR$) è facile verificare che una successione non convergente come $(-1)^n$ non solo converge a $1$, ma a qualsiasi altro $a>1$.
Ti va di postare una dimostrazione di questa cosa? Non è da tanto che mastico topologie, e non riesco a visualizzare..
grazieciao ciao
"Ravok":
Secondo me l'unica tua chance è di prendere uno spazio topologico in cui la definizione di aperto possa essere ricondotta solo al fatto di appartenere alla topologia e non visualizzabile in maniera euclidea... dici che è sensata come cosa? Perchè se si rimane in $RR^{n}$ in generale, qualsiasi topologia si prenda le distanze sono quelle euclidee, e il concetto di limite non penso possa discostarsi da quello che tutti immaginiamo.. Ma potrei sempre sbagliare...
ciao, Ravok
in attesa che Nicolas B posti la sue dimostrazione, faccio un commento alla tua affermazione (che non è corretta, come mostra l'esempio di Nicola B). Ne approfitto, in realtà, per fare un commento di natura generale. Vorrei invitare chi legge (e non ha già ben chiaro per i fatti suoi questo punto di vista) a fermarsi un momento e riflettere sul significato "far reaching" di quanto sto dicendo.
Una affermazione corretta è la seguente:
"Su $RR^n$ l'unica topologia che è indotta da una norma è quella euclidea."
Invece, limitarsi alle topologie indotte da una metrica non serve a nulla.
Dove sta l'inghippo? Alle solite, sta nel legame che si pone o no fra le diverse strutture matematiche definite sull'insieme $RR^n$.
1.
Se parliamo di norma, essa deve soddisfare condizioni che impongono una compatibilità con la struttura algebrica (di spazio vettoriale) di $RR^n$. Non credo valga la pena menzionarle in dettaglio. Basta pensare (ad esempio) alla disuguaglianza triangolare, che tira in ballo il $+$. Al di là della dimostrazione tecnica dell'affermazione sopra virgolettata (che fa parte della quotidianità matematica), la cosa importante è che la ragione per cui si può sperare che questa affermazione sia vera è proprio perché la definizione di norma richiede una compatibilità fra la struttura algebrica (da cui la norma euclidea può essere fatta derivare) e quella topologica.
2.
Se parliamo di metrica (su un insieme $X$), le condizioni che devono essere soddisfatte da una metrica non tirano in ballo nessuna particolare (altra) struttura definita su $X$. Questo ha, ad esempio, questa conseguenza: non potendo distinguere insiemisticamente $RR$ da $RR^2$, posso usare la corrispondenza biunivoca esistente fra questi due insiemi per definire su $RR$ una metrica iperstrampalata, che nessun essere umano riesce a "visualizzare".
Esercizio.
Perché, contrariamente a quanto avviene per $RR$, non viene introdotto (e, soprattutto, non viene mai utilizzato) un ordine totale su $CC$?
"Fioravante Patrone":
Perché, contrariamente a quanto avviene per $RR$, non viene introdotto (e, soprattutto, non viene mai utilizzato) un ordine totale su $CC$?
Nel campo complesso si può ovviamente introdurre una relazione d'ordine. Per esempio si può considerare l'ordine lessicografico, identificando $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$. Tuttavia questa relazione non è compatibile con le operazioni del campo complesso: per esempio la coppia $(0,1)$, che rappresenta l'unità immaginaria, è maggiore di $(0,0)$, ma $(0,1) * (0,1)=(-1,0)$, che è minore di zero.
Ciao,
L.
P.S. Vedo che se scrivo in LaTeX le formule non vengono sempre visualizzate correttamente. Peccato! Utente devoto di LaTeX, non ho una gran voglia di imparare MathML o altri linguaggi per la composizione di formule... Fra l'altro, non vedo proprio il motivo di usare un altro linguaggio: LaTeX è perfetto e anche semplice, ed è uno standard...
OT: Dovrebbe funzionare il LaTeX, dato che MathML e' l'estensione per Internet. Cosa non riesci a scrivere?
"Crook":
OT: Dovrebbe funzionare il LaTeX, dato che MathML e' l'estensione per Internet. Cosa non riesci a scrivere?
\mathbb{C}, per esempio (che comunque richiede amsfonts). CC fra dollari non è un comando LaTeX.
A me funziona. Forse devi installare delle fonts di Mathematica piu' aggiornate.
"Crook":
A me funziona. Forse devi installare delle fonts di Mathematica piu' aggiornate.
Davvero c'entra Mathematica? Io ho installato una distribuzione recente di LaTeX (uso un Mac, distribuzione full dell'i-Installer). Se compilo con LaTeX, i font mathbb vengono resi benissimo. Ho anche Mathematica (versione 5.1). Ah, uso Safari come browser!
Ciao e grazie,
L.
P.S. Ho provato con Firefox e funziona meglio, ma non si vede il segno - della coppia (-1,0): sai dirmi con Safari che plug-in devo scaricare?
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Fioravante Patrone"]
Perché, contrariamente a quanto avviene per $RR$, non viene introdotto (e, soprattutto, non viene mai utilizzato) un ordine totale su $CC$?
Nel campo complesso si può ovviamente introdurre una relazione d'ordine. Per esempio si può considerare l'ordine lessicografico, identificando $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$. Tuttavia questa relazione non è compatibile con le operazioni del campo complesso: per esempio la coppia $(0,1)$, che rappresenta l'unità immaginaria, è maggiore di $(0,0)$, ma $(0,1) * (0,1)=(-1,0)$, che è minore di zero.
Ciao,
L.[/quote]
l'idea essenziale c'è, ma la dim va aggiustata...
Chi ti dice che:
"la coppia $(0,1)$, che rappresenta l'unità immaginaria, è maggiore di $(0,0)$"?
ciao
"Fioravante Patrone":
Chi ti dice che:
"la coppia $(0,1)$, che rappresenta l'unità immaginaria, è maggiore di $(0,0)$"?
ciao
Facile in questo specifico esempio: identifico la coppia $(x,y)$ con il numero complesso $x+iy$ e la relazione d'ordine che ho considerato è l'ordine lessicografico.
Tuttavia, resta da dimostrare che in generale è impossibile introdurre in $\mathbb{C}$ una relazione d'ordine compatibile con la sua struttura algebrica.
Ciao,
L.
scusa, ero di fretta e non avevo notato che tu ti riferivi all'ordine lessicografico!
ovviamente la questione importante resta aperta
ovviamente la questione importante resta aperta
Il discorso sulla norma è ok..Quello che non riesco a capire è
$?$ Come può cambiare il concetto di limite a partire dagli aperti scegliendo diverse topologie...
Questo è quello che, forse stupidamente, mi ha condotto a scrivere quello che ho postato stamattina..
Il fatto è che associo troppo la nozione di limite a quella di distanza, e quindi mi trovo sempre a smanettare sulla topologia euclidea...per questo suggerivo di spostarci da $RR^n$..
$?$ Come può cambiare il concetto di limite a partire dagli aperti scegliendo diverse topologie...
Questo è quello che, forse stupidamente, mi ha condotto a scrivere quello che ho postato stamattina..
Il fatto è che associo troppo la nozione di limite a quella di distanza, e quindi mi trovo sempre a smanettare sulla topologia euclidea...per questo suggerivo di spostarci da $RR^n$..
"Ravok":
Come può cambiare il concetto di limite a partire dagli aperti scegliendo diverse topologie...
Intanto una osservazione su quello che dici. Quello che cambia non è "il concetto di limite", che resta sempre quello. Quello che può cambiare è il valore del limite. Fino a casi "estremi" (anche se pur sempre piuttosto "domestici") quale quello prospettato da Nicolas B: la topologia che lui usa non è di Hausdorff e quindi non è più garantita neppure l'unicità del limite (come lui stesso osserva).
Se la domanda è "come può cambiare il (valore del) limite al variare della topologia", la risposta mia è che ti ribalto una domanda. Non pensi che sarebbe un po' strano se il limite non potesse cambiare al variare della topologia? Se non dipendesse mai dalla topologia, forse non ci servirebbe a molto, questa struttura astratta.
"Ravok":
Il fatto è che associo troppo la nozione di limite a quella di distanza, e quindi mi trovo sempre a smanettare sulla topologia euclidea...per questo suggerivo di spostarci da $RR^n$..
Ancora una precisazione. Tu dici: "associo troppo la nozione di limite a quella di distanza". In realtà, l'affermazione corretta (perché valga l'implicazione che fai: "e quindi mi trovo sempre a smanettare sulla topologia euclidea") è che tu dai per scontato di usare una distanza indotta da una norma.
ciao
Giusto, hai ragione... vedo che dovrò pesare le parole al punto giusto...
Per quanto riguarda la domanda ribaltata non so risponderti..io trovo gli spazi topologigi già interessanti di per se, quindi non vedo il motivo di dover trovare altre cose (vedi il possibile cambiamento del limite) per giustificare la loro esistenza...
Comunque, siccome non riesco proprio a visualizzare, se tu potessi farmi un esempio...te ne sarei grato..
grazie
Per quanto riguarda la domanda ribaltata non so risponderti..io trovo gli spazi topologigi già interessanti di per se, quindi non vedo il motivo di dover trovare altre cose (vedi il possibile cambiamento del limite) per giustificare la loro esistenza...
Comunque, siccome non riesco proprio a visualizzare, se tu potessi farmi un esempio...te ne sarei grato..
grazie
"Ravok":
Giusto, hai ragione... vedo che dovrò pesare le parole al punto giusto...
sai com'è, è matematica...
"Ravok":
Per quanto riguarda la domanda ribaltata non so risponderti..io trovo gli spazi topologigi già interessanti di per se, quindi non vedo il motivo di dover trovare altre cose (vedi il possibile cambiamento del limite) per giustificare la loro esistenza...
perché li trovi interessanti "di per sé"? Lasciando da parte motivazioni estetiche (che ci sono, per carità, anche se molti le confondono con una idea, molto più prosaica, di Mach), cosa hanno di interessante?
Una possibile risposta è ovvia: sono una notevole e profonda astrazione (mica è stato banale, arrivarci). Ci dicono cosa c'è di "essenziale" dietro alle idee di limite, di continuità.
Ma, proprio prché ci siamo ridotti all'essenziale, se tutti i gatti fossero bigi, ci resteremmo male. Quindi, ribadisco: se una funzione fosse sempre continua in un punto, indipendentemente dalla topologia, io personalmente non considererei più la topologia una delle strutture fondamentali della matematica.
"Ravok":
Comunque, siccome non riesco proprio a visualizzare, se tu potessi farmi un esempio...te ne sarei grato..
un ottimo esempio l'ha già fatto Nicolas B:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 391#128391
posso fare un altro esempio, meno carino, magari: prendi la successione $1/n$ in $RR$. Questa converge a $0$. Ma non converge più (né a $0$ né da nessun'altra parte) se su $RR$ mettiamo la topologia discreta. (E, un po' sulla falsariga dell'esempio di Nicolas B, se invece ci mettiamo la topologia banale converge ad ogni punto di $RR$...).
Un esempio interessante (fuori da $RR$) lo si trova negli spazi funzionali. Nello spazio di Hilbert $l^2$, la base canonica (parte ortonormale completa) $e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ (intendo che il termine $1$ è all'$n$-esimo posto) converge a $0$ per la topologia debole, mentre non converge da nessuna parte per la topologia forte.
PS: l'esercizio che avevo proposto è tuttora irrisolto...
Una dimostrazione?
PS: l'esercizio che avevo proposto è tuttora irrisolto...
Be', la risposta mi sembra facile (almeno algebricamente). In un campo ordinato, vale che $x^2>=0$. Ma allora in $CC$ non si puo' introdurre un ordine totale che soddisfi assiomi dell'ordine di $RR$. Infatti, $i^2=-1$ e in un campo ordinato $-1<0$. Sicche' $CC$ sarebbe un'estensione di $RR$ che non soddisfa alcuni assiomi, cosa non carina.
sono d'accordo con te, è facile
basta avere le idee chiare per capire chi siano gli strumenti giusti e applicarli nel punto giusto
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