Limite

[giuseppe87x]

Calcolare il seguente limite senza utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor:
$lim_(ntoinfty)[nsin(1/n)]^n$

[Ravok]

Visto che nessuno risponde presumo sia molto più complesso di come penso. Ma non è che risulta $1$?
Ciao Ciao

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":Calcolare il seguente limite senza utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor:
$lim_(ntoinfty)[nsin(1/n)]^n$

Difficile, Ravok!? Vale $lim_(ntoinfty)[n\cdot \sin(1/n)]^n =$exp$(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin(x)/x)}{x}) =$exp$(\lim_{x \to 0^+} \frac{x \cdot cos(x) - \sin(x)}{x^2}) = $exp$(-1/2 \lim_{x \to 0^+} sin(x)) = 1^-$, per aver applicato ripetutamente il teorema di De L'Hopital.

[Ravok]

Tranquillo, non volevo insinuare che tu non fossi in grado di risolverlo...

[Sk_Anonymous]

Né tantomeno io volevo insinuare che tu avessi potuto insinuarlo. Perciò cui prodest?

[giuseppe87x]

"DavidHilbert":
Vale $lim_(ntoinfty)[n\cdot \sin(1/n)]^n =$exp$(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin(x)/x)}{x}) =$exp$(\lim_{x \to 0^+} \frac{x \cdot cos(x) - \sin(x)}{x^2}) = $exp$(-1/2 \lim_{x \to 0^+} sin(x)) = 1^-$, per aver applicato ripetutamente il teorema di De L'Hopital.

Scusa DavidHilbert ma non ho capito il terzo passaggio, che fine fa il logaritmo?

[Sk_Anonymous]

De L'Hopital, come dicevo: la derivata del denominatore risulta in 1, quella del numeratore restituisce $\frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{x \cdot \cos(x) - \sin(x)}{x^2}$. Senonché $\frac{x}{\sin(x)} \to 1^+$, per $x \to 0^+$.

[giuseppe87x]

Ah..giusto. La mia soluzione sfrutta il teorema di Cesaro ed è mooolto lunga...