Limite
Ecco un altro limite,spero che qualcuno abbia pazienza di postarmi lo sviluppo in serie di Taylor xchè a me non penso esca..
$lim_{x->0}(ln(1+x(arctanx))-xsinx)/(cosx-e^(-x^2/2))$
Alla fine a me esce $(x^2+o(x^2))/(o(x^3))$
è giusto??
$lim_{x->0}(ln(1+x(arctanx))-xsinx)/(cosx-e^(-x^2/2))$
Alla fine a me esce $(x^2+o(x^2))/(o(x^3))$
è giusto??
Risposte
Se al denominatore c'è solo un o piccolo direi che devi troncare lo sviluppo a ordini superiori.
al denominatore i termini di secondo grado si semplificano si semplificano....se andassi avanti mi rimarrebbero termini di grado maggiore di 2
Qualcuno mi risponde??
A me al denominatore torna $-\frac{7}{64}x^4 + o(x^4)$.
C'è un errore al denominatore...
Intendi al mio sviluppo? Poesse, l'ho fatto di corsa...
Non ho sviluppato fino a quel punto...quindi pure il num devo svilupparlo fino al quarto ordine?
Come faccio a capire fino a che ordine devo sviluppare??
Devi sviluppare fino a quanto basta per non avere solo o piccoli di mezzo.
Il denominatore si ferma all'ordine $2$... ricontrolla i conti
EDIT: no è una cavolata, scusatemi
EDIT: no è una cavolata, scusatemi
OK fin qui ci sono ma poi il valore del limite è dato dal rapporto dei coefficienti di grado minimo,massimo o dipende...??
Ho rifatto i conti, e mi torna $-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)$ dov'è che sbaglio? Possibile che sia così rinco?
Ammesso e non concesso che il mio sviluppo vada bene... il limite va a zero come:
$\frac{x^2}{-\frac{1}{12}x^4}=-12\frac{1}{x^2}$ che per $x \rightarrow 0$ tende a $-\infty$.
$\frac{x^2}{-\frac{1}{12}x^4}=-12\frac{1}{x^2}$ che per $x \rightarrow 0$ tende a $-\infty$.
Il denominatore, come giustamente ha detto Tipper, viene
$-1/12 x^4 + o(x^4)$
Il problema ora è il numeratore, dove $x^2$ va via e rimane
$-2/3 x^4 + o(x^4)$
Per capirlo basta sviluppare, risulta
$ln(1+xarctgx) = x^2 - x^4/3 - x^4/2 + o(x^4)$
$xsinx = x^2 - x^4/6 + o(x^4)$
per cui il limite viene $8$
$-1/12 x^4 + o(x^4)$
Il problema ora è il numeratore, dove $x^2$ va via e rimane
$-2/3 x^4 + o(x^4)$
Per capirlo basta sviluppare, risulta
$ln(1+xarctgx) = x^2 - x^4/3 - x^4/2 + o(x^4)$
$xsinx = x^2 - x^4/6 + o(x^4)$
per cui il limite viene $8$
"f.bisecco":
OK fin qui ci sono ma poi il valore del limite è dato dal rapporto dei coefficienti di grado minimo,massimo o dipende...??
Questa cosa è importante e ci tengo a fartela presente, poiché sostanzialmente è la chiave su cui si basa il calcolo dei limiti mediante sviluppo in serie di Taylor...
Abbiamo un numeratore e un denominatore qualsiasi che, al tendere di $x$ a $0$, vanno a loro volta a $0$... ora sviluppiamo sia il numeratore che il denominatore e otteniamo in sostanza il rapporto tra due polinomi. Dopo aver fatto le opportune semplificazioni (cioè eliminato i termini uguali di segno opposto), ci dobbiamo soffermare sul termine di grado minimo per ciascun polinomio... perché quello minimo? Semplice: ipotizziamo che il termine di grado minimo sia $x^n$ per un certo $n in NN$, allora per $x to 0$ anche $x^n to 0$, però qualunque altro termine di grado superiore a $n$ va a $0$ più velocemente di $n$; questo vuol dire che se vogliamo le spalle coperte e sapere il termine che va a $0$ più lentamente dobbiamo prendere la potenza di grado minimo, la quale mette un freno all'andare a $0$ per tutto il polinomio. Quell'$o(x^n)$ che si usa mettere, detto in parole semplici vuol dire: va a $0$ più velocemente di $x^n$.
Se facciamo questa operazione sia al numeratore che al denominatore, sapremo con certezza in che modo essi tendono a $0$... immaginiamo di avere una cosa di questo genere:
$(ax^m)/(bx^p)$ dove $m,p in NN$ e $a,b in RR$
Distinguiamo 3 casi:
- $m > p$: il numeratore va a $0$ più velocemente del denominatore, quindi il limite è $0$
- $p > m$: il denominatore va a $0$ più velocemente e il limite dà come risultato $+oo$ se $a$ e $b$ sono concordi, $-oo$ altrimenti
- $m = p$: numeratore e denominatore vanno a $0$ allo stesso modo e il limite viene $a/b$
Sull'ultima considerazione ci sono vale per tutti i limiti che presentano rapporti tra polinomi....
Per quanto riguarda taylor sto incominciando a capire....
Devo scusarmi per la mia insistenza sull'argomento....è un argomento che è presente nel programma del corso di analisi,ma che ancora non ho affrontato...Quando lo affronterò e con il vostro aiuto sarà diverso...Da autodidatta è un po più ostico, ma non è poi cosìcomplesso....
Grazie ancora..
Per quanto riguarda taylor sto incominciando a capire....
Devo scusarmi per la mia insistenza sull'argomento....è un argomento che è presente nel programma del corso di analisi,ma che ancora non ho affrontato...Quando lo affronterò e con il vostro aiuto sarà diverso...Da autodidatta è un po più ostico, ma non è poi cosìcomplesso....
Grazie ancora..
"f.bisecco":
Da autodidatta è un po più ostico, ma non è poi cosìcomplesso....
Infatti, con un po' pazienza e impegno si possono studiare anche per conto proprio le cose
A me i limiti con Taylor non li ha mai spiegati nessuno ad esempio
"Kroldar":
Il denominatore, come giustamente ha detto Tipper, viene
Per capirlo basta sviluppare, risulta
$ln(1+xarctgx) = x^2 - x^4/3 - x^4/2 + o(x^4)$
$xsinx = x^2 - x^4/6 + o(x^4)$
...
Mi spiegate, per piacere, come fate a sviluppare il $ln(1+xarctgx)$?. Di solito io faccio le derivate, ma la prof dice che si deve sostituire ma non ho capito come.
$t=x"arctg"(x)$, e sviluppi $\ln(1+t)$, poi torni indietro, sostituendo ad ogni $t$ $x"arctg"(x)$, e dopo ad ogni $"arctg"(x)$ sotituisci il proprio sviluppo; è detto in un italiano pessimo, ma l'idea è questa.
Capito, grazie mille
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