Limite
Ciao ragazzi!
Volevo chiedervi la vostra opinione riguardo un limite. Mi sembra troppo semplice la cosa...
Il limite é:
Lim n--> (Infinito) di (1/(sqrt(n^2+1^2)) + 1/(sqrt(n^2+2^2)) + ....+ 1/(sqrt(n^2+n^2)) ).
Io direi semplicemente che ogni termine tende a "0" e quindi il limite é zero. che ne pensate? [/quote]
Volevo chiedervi la vostra opinione riguardo un limite. Mi sembra troppo semplice la cosa...
Il limite é:
Lim n--> (Infinito) di (1/(sqrt(n^2+1^2)) + 1/(sqrt(n^2+2^2)) + ....+ 1/(sqrt(n^2+n^2)) ).
Io direi semplicemente che ogni termine tende a "0" e quindi il limite é zero. che ne pensate? [/quote]
Risposte
nn si capisce molto così come è scritto
limite per n tendente ad infinito di.... sqrt= radice quadrata.
Thx[/img]
Thx[/img]
è quello ke c'è dentro la parentesi ke nn s capisce. scirvi con i font matematici oppure metti meglio le parentesi.
In realtà è chiaro anche così. Comqunque è questo:
$lim_(n rightarrow oo)(1/sqrt(n^2+1^2)+1/sqrt(n^2+2^2)+ldots+1/sqrt(n^2+n^2))$
$lim_(n rightarrow oo)(1/sqrt(n^2+1^2)+1/sqrt(n^2+2^2)+ldots+1/sqrt(n^2+n^2))$
scusa nn pensavo c fossero $1^2$ e $2^2$ ecco xke pensavo fosse sbagliato
anke io la penso come te cmq. tende a 0
Anche se ognuno dei membri tende a $0$ l'intera somma non tende a $0$, sono certo. Ci sto lavorando...
allora devi vedere il termine n-1 come se fosse una serie
fammi sapere quello ke ti esce ora torno alla fisica
Il limite vale $ln(sqrt(2)+1)$.
grazie mille!... ma posso sapere come fai ad arrivarci?
Non so ancora se è giusto. Devo ricontrollare e riscrivere i conti, perchè non so giustificare certi passaggi. Comunque derive dice che è quella. Al perchè ci sono vicino.
Trovato la soluzione!
Non abbiamo a che fare con una somma, ma con il limite di una somma; e questo riporta immediatamente all'integrazione definita.
Si può approssimare l'integrale $int_a^bf(x)dx$ con la somma $s_n=1/n[f(a)+f(a+Delta)+f(a+2Delta)+ldots+f(b-Delta)]$, dove $Delta=(b-a)/n$, e $lim_(n rightarrow oo)s_n=int_a^bf(x)dx$.
Ora faccio in modo che la somma $sum_(k=1)^n 1/sqrt(n^2+k^2)$ assomigli a $s_n$, scegliendo appropriatamente $f(x)$, $a$ e $b$.
$1/sqrt(n^2+k^2)=1/n(n/sqrt(n^2+k^2))=1/n(1/sqrt(k^2/n^2+1))$.
Se $k$ varia da $1$ a $n$, $k^2/n^2$ varia tra $1/n^2$ a $1$, il che suggerisce $a=0$, $b=1$ e $f(x)=1/sqrt(x^2+1)$.
Infatti, $1/n sum_(k=1)^n 1/sqrt(n^2+k^2)=1/n[f(1/n)+f(2/n)+ldots+f(n/n)]$.
Perciò il limite cercato vale $int_0^1 f(x)dx=int_0^1 (dx)/sqrt(1+x^2)=[ln|x+sqrt(x^2+1)|]_0^1=ln|1+sqrt(2)|-ln|0+sqrt(1)|=ln(sqrt(2)+1)$.
Non abbiamo a che fare con una somma, ma con il limite di una somma; e questo riporta immediatamente all'integrazione definita.
Si può approssimare l'integrale $int_a^bf(x)dx$ con la somma $s_n=1/n[f(a)+f(a+Delta)+f(a+2Delta)+ldots+f(b-Delta)]$, dove $Delta=(b-a)/n$, e $lim_(n rightarrow oo)s_n=int_a^bf(x)dx$.
Ora faccio in modo che la somma $sum_(k=1)^n 1/sqrt(n^2+k^2)$ assomigli a $s_n$, scegliendo appropriatamente $f(x)$, $a$ e $b$.
$1/sqrt(n^2+k^2)=1/n(n/sqrt(n^2+k^2))=1/n(1/sqrt(k^2/n^2+1))$.
Se $k$ varia da $1$ a $n$, $k^2/n^2$ varia tra $1/n^2$ a $1$, il che suggerisce $a=0$, $b=1$ e $f(x)=1/sqrt(x^2+1)$.
Infatti, $1/n sum_(k=1)^n 1/sqrt(n^2+k^2)=1/n[f(1/n)+f(2/n)+ldots+f(n/n)]$.
Perciò il limite cercato vale $int_0^1 f(x)dx=int_0^1 (dx)/sqrt(1+x^2)=[ln|x+sqrt(x^2+1)|]_0^1=ln|1+sqrt(2)|-ln|0+sqrt(1)|=ln(sqrt(2)+1)$.
caspita... bello tosto
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