Limite
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo limite
$lim_(xrarr2^-)(cos(pi/4x)/(sqrt(4 - x^2)))$ mi rconduco in zero, quindi $x = t + 2$
$lim_(xrarr0)(-sin(pi/4t))/(-t^2 - 4t) = (-pi/4t + o(t))/(sqrt(-4t)(1 + 1/8t + o(t)))$ è possibile che io abbia $sqrt(-4t)$?
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + (-1/2t)^(3/2) + o(t^(3/2)))$ per $xrarr0$ diventa
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + o(t^(1/2))) = 0$ il risultato è giusto però non sono sicuro dei miei passaggi
$lim_(xrarr2^-)(cos(pi/4x)/(sqrt(4 - x^2)))$ mi rconduco in zero, quindi $x = t + 2$
$lim_(xrarr0)(-sin(pi/4t))/(-t^2 - 4t) = (-pi/4t + o(t))/(sqrt(-4t)(1 + 1/8t + o(t)))$ è possibile che io abbia $sqrt(-4t)$?
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + (-1/2t)^(3/2) + o(t^(3/2)))$ per $xrarr0$ diventa
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + o(t^(1/2))) = 0$ il risultato è giusto però non sono sicuro dei miei passaggi
Risposte
"bestplace":
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo limite
$lim_(xrarr2^-)(cos(pi/4x)/(sqrt(4 - x^2)))$ mi rconduco in zero, quindi $x = t + 2$
$lim_(xrarr0)(-sin(pi/4t))/(-t^2 - 4t) = (-pi/4t + o(t))/(sqrt(-4t)(1 + 1/8t + o(t)))$ è possibile che io abbia $sqrt(-4t)$?
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + (-1/2t)^(3/2) + o(t^(3/2)))$ per $xrarr0$ diventa
$lim_(xrarr0)(-pi/4t + o(t))/((-4t)^(1/2) + o(t^(1/2))) = 0$ il risultato è giusto però non sono sicuro dei miei passaggi
io farei così :$t=2-x->t->0^+$ per cui
$lim_(xrarr2^-)(cos(pi/4x)/(sqrt(4 - x^2)))=lim_(t->0^+)(cos(pi/4(2-t)))/(sqrt(4-4-t^2+4t))=lim_(t->0^+)(sin(pi/4*t))/(sqrt(-t^2+4t))=lim_(t->0^+)(sin(pi/4*t))/t*1/(sqrt(-1+4/t))$
Ora per $t->0^+$ $(sin(pi/4*t))/t->pi/4$ mentre $1/(sqrt(-1+4/t))->0$ per cui il limite fa $0$
"bestplace":
è possibile che io abbia $sqrt(-4t)$?
Sì perché con quel cambio di variabile si ha $t->0^-$.
Certo che con la tua sostituzione risolvi in parte il problema del segno, è qualcosa che mi devo ricordare
grazie
Comunque tanto per sapere, il procedimento era giusto?Poi dividendo al denominatore mi restava un $o(1)$, vero?
grazie
Comunque tanto per sapere, il procedimento era giusto?Poi dividendo al denominatore mi restava un $o(1)$, vero?
Ancora un problemino sicuramente semplice per voi
$lim_(xrarr0^+-)(1 + 2^(1/x))/(3 + 2^(1/x))$ per quanto riguarda $0^-$ nessun problema perchè non è una forma indeterminata
per $0^+$ invece ho pensato di sviluppare $2^(1/x)$ ottenendo $lim_(xrarr0^+)(2 + 1/xlog2 + o(1/x))/(4 + 1/xlog2 + o(1/x))$ e adesso però che faccio ???
$lim_(xrarr0^+-)(1 + 2^(1/x))/(3 + 2^(1/x))$ per quanto riguarda $0^-$ nessun problema perchè non è una forma indeterminata
per $0^+$ invece ho pensato di sviluppare $2^(1/x)$ ottenendo $lim_(xrarr0^+)(2 + 1/xlog2 + o(1/x))/(4 + 1/xlog2 + o(1/x))$ e adesso però che faccio ???
Non puoi sviluppare $2^(1/x)$ per $x->0^+$, non è un infinitesimo!!!
Basta porre $2^(1/x)=y$ ed osservare che
$lim_(x->0^+)y = +oo$, allora il limite diventa
$lim_(y->+oo)(1+y)/(3+y)=1
$lim_(x->0^+)y = +oo$, allora il limite diventa
$lim_(y->+oo)(1+y)/(3+y)=1
Hai ragione, era cosi semplice
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