Limite
Ciao a tutti!
Come faccio a calcolare questo limite di una successione
$lim (a_1+a_2+a_3...a_n)/n$ Sapendo che $lim a_n=a$?
Come faccio a calcolare questo limite di una successione
$lim (a_1+a_2+a_3...a_n)/n$ Sapendo che $lim a_n=a$?
Risposte
ma cos'é quello in parentesi? Sembra un vettore, ma non credo che intendessi questo.
"kinder":
ma cos'é quello in parentesi? Sembra un vettore, ma non credo che intendessi questo.
Parentesi?? Forse non hai installato i font MathML.
si, è vero: non avevo i fonts. Grazie
"matematicoestinto":
Ciao a tutti!
Come faccio a calcolare questo limite di una successione
$lim (a_1,a_2,a_3...a_n)/n$ Sapendo che $lim a_n=a$?
Se il primo è un prodotto (non capisco le virgole che separano le $a$) allora non hai alcun modo per conoscerne il limite conoscendo $lim a_n=a$, infatti pensa che ai due casi $a_n=1-1/n$ e $a_n=1+1/n$ in entrambi si ha $lim_(n rightarrow infty) a_n=1$ ma nel primo banalmente $lim_(n rightarrow infty) (a_1,a_2,a_3...a_n)/n=0$ poichè $a_1=0$ mentre nel secondo hai
$lim_(n rightarrow infty) (a_1,a_2,a_3...a_n)/n=lim_(n rightarrow infty) ((1+1)/1)((2+1)/2)...((n+1)/n)(1/n)=lim_(n rightarrow infty) ((n+1)/n)=1$
Avevo sbagliato a scrivere il testo.
Chiedo scusa a tutti e in particolare a chi ha provato ad aiutarmi! Se potete, fatelo adesso, sono ancora molto interessato la quesito.
Chiedo scusa a tutti e in particolare a chi ha provato ad aiutarmi! Se potete, fatelo adesso, sono ancora molto interessato la quesito.
"matematicoestinto":
Ciao a tutti!
Come faccio a calcolare questo limite di una successione
$lim (a_1+a_2+a_3...a_n)/n$ Sapendo che $lim a_n=a$?
Anche in questo caso non hai sufficienti informazioni per calcolare il primo limite. Prendi i due casi $a_n=1$ e $a_n=1-n^(-1/2)$ in entrambi si ha $lim_(n rightarrow infty) a_n=1$ nel primo $lim_(n rightarrow infty) (a_1+a_2+a_3...a_n)/n=lim_(n rightarrow infty) n/n=1$ mentre nel secondo $lim_(n rightarrow infty) (a_1+a_2+a_3...a_n)/n=lim_(n rightarrow infty) (n-1-1/2-1/3-...-1/n)/n=lim_(n rightarrow infty) (n-1-1/sqrt(2)-1/sqrt(3)-...-1/sqrt(n))/n=-infty$.
Il testo dellesercizio dice di dimostrare che quel limite fa a. Devo dedurre che la prof è in errore (errare umanum est)? Puoi spegarmi che calcoli hai fatto per svolgere il 2 limite?
Se $a_(n)$ converge ad $a$ converge anche la media aritmetica dei primi $n$ termini: è il primo teorema di Cesaro
C'è un errore di calcolo del limite della seconda successione.
C'è un errore di calcolo del limite della seconda successione.
Non ho studiato il promi teorema di Cesaro, ma solo quello che dice (sotto le opportune ipotesi) che $lim (a_n)/(b_n)=lim(a_(n+1)-a_n)/(b_(n+1)-b_n)$ Come lo posso dimostrare altrimenti?
--
"Mortimer":
Se $a_(n)$ converge ad $a$ converge anche la media aritmetica dei primi $n$ termini: è il primo teorema di Cesaro
C'è un errore di calcolo del limite della seconda successione.
Certamente, è vero, mi sono dimenticato la $n$ a denominatore!
Posto $c_n=a_1+a_2+...+a_n$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
Grazie. E' così che io l'avevo svolto ma non riuscivo a interpretare il risultato..... Adesso credo di averlo capito...
A presto
A presto
Non mi sembra la giusta procedura risolutiva, in quanto noi sappiamo che $lim (a_(1)+a_(2)+...+a_(n))/n=a$ se e solo se $lim a_(n)=a$. I teoremi di Cesaro non ammettono gli inversi.
Per esempio la successione $a_1=1, a_2=0, a_3=1, a_4=0$ è non regolare. Invece la successione:
$(a_(1)+a_(2)+...+a_(n))/n=(n+1)/2$ se $n$ è dispari oppure $=1/2$ se $n$ è pari, quindi la successione converge a $1/2$
Per esempio la successione $a_1=1, a_2=0, a_3=1, a_4=0$ è non regolare. Invece la successione:
$(a_(1)+a_(2)+...+a_(n))/n=(n+1)/2$ se $n$ è dispari oppure $=1/2$ se $n$ è pari, quindi la successione converge a $1/2$
Quella che ho proposto è la dimostrazione standard del teorema della media.
Sussiste il seguente teorema:
se $(c_n)$ e $(b_n)$ sono due successioni con $(b_n)$ crescente (o decrescente) e divergente, allora $lim(c_n)/(b_n)=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)$ se il secondo limite esiste.
Sussiste il seguente teorema:
se $(c_n)$ e $(b_n)$ sono due successioni con $(b_n)$ crescente (o decrescente) e divergente, allora $lim(c_n)/(b_n)=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)$ se il secondo limite esiste.
"Piera":
Posto $c_n=a_1+a_2+...+a_n$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
E' esattamente la stessa dimostrazione che ha fatto la professoressa.
A presto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo