Limite

[rico]

ciao, riposto il seguente limite, cercando di trovare qualcuno che mi aiuti a risolverlo....
$lim_(x->0^+)e^(1/(e^(x^2)cosx^2+x^6/(logx)-1-x^2)log(x(sinx^5+1/x))$
$e^(x^2)cosx^2$ nn va a 1?
e soprattutto la forma indeterminata e $0/oo$??

[Kroldar]

"richard84":
e soprattutto la forma indeterminata e $0/oo$??

$0/oo$ non è una forma indeterminata... se il numeratore è piccolissimo, a maggior ragione lo sarà se il denominatore è enorme

[_luca.barletta]

"richard84":
$e^(x^2)cosx^2$ nn va a 1?
e soprattutto la forma indeterminata e $0/oo$??

Sì, va a 1. La forma indeterminata è $0/0$

[rico]

si e vero...pero mi date una aiuto??io sto provando a fare gli sviluppi di Mac Laurin.. per $e^(x^2)$ e $cosx^2$
allora per $e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/6o(x^7)$ come suggerito da nica
per $cosx^2$
$f'(x)=-2xsenx^2$
$f''(x)=-2senx^2-4x^2cosx^2$
$f'''(x)=-4xcosx^2-8xcosx^2+8x^3senx^2$???
e come mai e $0/0$??

[_luca.barletta]

$cos(x^2)=sum_(k=0)^(n) (-1)^(k)/((2k)!) x^(4k) +o(x^(4n)) = 1-x^4/2+x^8/6 + o(x^8)$

[rico]

e quindi le mie derivate sono sbagliate??
e poi $x^6/(logx)$ non va infinito? il log e infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza no?
cmq forse lo sviluppo devo farlo per $e^(x^2)cosx^2$

[_luca.barletta]

$x^6/log(x)$ è un $0^+/(-infty) $ cioè un $0^(-)$

[_nicola de rosa]

"luca.barletta":$cos(x^2)=sum_(k=0)^(n) (-1)^(k)/((2k)!) x^(4k) +o(x^(4n)) = 1-x^4/2+x^8/6 + o(x^8)$

$cos(x^2)=sum_(k=0)^(n) (-1)^(k)/((2k)!) x^(4k) +o(x^(4n)) = 1-x^4/2+x^8/24 + o(x^8)$

[rico]

$lim_(x->0^+)e^(1/(((1+x^2+x^4/2+x^6/6o(x^7))(1-x^4/2+x^8/24+o(x^9)+x^6/(logx)-1-x^2)))log(x(sinx^5+1/x))$??

[_nicola de rosa]

"richard84":e quindi le mie derivate sono sbagliate??
e poi $x^6/(logx)$ non va infinito? il log e infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza no?
cmq forse lo sviluppo devo farlo per $e^(x^2)cosx^2$

$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/6+o(x^7)$
$cos(x^2)=1-x^4/(2!)+x^8/(4!)+o(x^9)=1-x^4/2+x^8/24+o(x^9)$ per cui
$e^(x^2)cosx^2=1+x^2-x^6/3+o(x^7)$
Invece $sin(x^5)=x^5+o(x^6)$ per cui sostituendo si ha, considerando solo l'esponente:
$log(x(sinx^5+1/x))/(e^(x^2)*cos(x^2)+x^6/(logx)-1-x^2)=log(1+x^6)/(1+x^2-x^6/3+x^6/(logx)-1-x^2)=log(1+x^6)/(x^6(-1/3+1/(logx))$
=$log(1+x^6)/x^6*1/(-1/3+1/(logx))$
Ora se $x->0,log(1+x^6)/x^6->1,1/(logx)->0$, per cui
$log(1+x^6)/x^6*1/(-1/3+1/(logx))->1*1/(-1/3+0)=-3$
da cui il limite è $e^(-3)$

[_luca.barletta]

"nicasamarciano":[quote="luca.barletta"]$cos(x^2)=sum_(k=0)^(n) (-1)^(k)/((2k)!) x^(4k) +o(x^(4n)) = 1-x^4/2+x^8/6 + o(x^8)$

$cos(x^2)=sum_(k=0)^(n) (-1)^(k)/((2k)!) x^(4k) +o(x^(4n)) = 1-x^4/2+x^8/24 + o(x^8)$[/quote]

sì, mi è scappato il factorial, grazie nicola

[Dust1]

$e^(x^2)cosx^2=1+x^2-x^6/3+0(x^7)$

Scusa la domanda banale, ma per ottenere questo fino a che termine hai moltiplicato membro a membro?

[_nicola de rosa]

"Dust":

$e^(x^2)cosx^2=1+x^2-x^6/3+0(x^7)$

Scusa la domanda banale, ma per ottenere questo fino a che termine hai moltiplicato membro a membro?

$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/6+o(x^7)$
$cos(x^2)=1-x^4/(2!)+x^8/(4!)+o(x^9)=1-x^4/2+x^8/24+o(x^9)$ per cui moltiplicando i due sviluppi, e considerando i termini fino alla potenza $x^6$ (gli altri sono trascurabili) si ha
$e^(x^2)cosx^2=1+x^2-x^6/3+o(x^7)$