Limite
Vi giuro che non chiederò più niente,anzi passerò sempre all'O.T. dopo questo esame 
Ho un semplice limite:
$ lim_{x to 0}(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sen1/x^2 $
io qui ottengo una forma indeterminata $ 0/0 $ ed un'altra $ sen oo $
Ora, quello che mi dice la mia mente è di applicare De L'Hopital e fare:
$ lim_{x to 0}(2^(x^2)(log2)(3-3^(x+1)-(2^(x^2)-1)(x+1)log3))/(3-3^(x+1))^2 $
per la seconda parte credo che dovrei ricondurmi a qualche limite notevole, ma ho la $x^2$ sotto...
Accetto consigli e/o soluzioni.
Ho un semplice limite:
$ lim_{x to 0}(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sen1/x^2 $
io qui ottengo una forma indeterminata $ 0/0 $ ed un'altra $ sen oo $
Ora, quello che mi dice la mia mente è di applicare De L'Hopital e fare:
$ lim_{x to 0}(2^(x^2)(log2)(3-3^(x+1)-(2^(x^2)-1)(x+1)log3))/(3-3^(x+1))^2 $
per la seconda parte credo che dovrei ricondurmi a qualche limite notevole, ma ho la $x^2$ sotto...
Accetto consigli e/o soluzioni.
Risposte
Ti dico come lo farei io, se non ti convince aspetta che lo risolva qualcuno più preparato di me che ho appena finito lo scientifico...
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))*lim_(x->0)sen1/(x^2)$
La funzione seno è sempre limitata quindi il secondo limite è sempre compreso fra -1 e 1:
Applicando "Day Hospital" (come diceva senza scherzare il mio prof) al primo limite:
$lim_(x->0)(-2*ln2)/(3*ln3)*(2^(x^2)*x)/(3^x)=0$
Quindi il valore del limite cercato è $0$
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))*lim_(x->0)sen1/(x^2)$
La funzione seno è sempre limitata quindi il secondo limite è sempre compreso fra -1 e 1:
Applicando "Day Hospital" (come diceva senza scherzare il mio prof) al primo limite:
$lim_(x->0)(-2*ln2)/(3*ln3)*(2^(x^2)*x)/(3^x)=0$
Quindi il valore del limite cercato è $0$
Guarda, secondo me lo possiamo risolvere con dei confronti asintotici,
ad esempio,
il numeratore $2^(x^2)-1$equivale a $x^2$,
al denominatore abbiamo, raccogliendo $-3*(3^x-1)$ che è equivalente a $-3*x$,
quindi mettendo insieme abbiamo
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))*sen(1/(x^2))=$
$=lim_(x->0)(x^2)/(-3*x)*sen(1/(x^2))=$
$=lim_(x->0)x*sen(1/(x^2))<=lim_(x->0)x=0$, ottenuto maggiorando il seno con 1...
spero vada bene...
R
ad esempio,
il numeratore $2^(x^2)-1$equivale a $x^2$,
al denominatore abbiamo, raccogliendo $-3*(3^x-1)$ che è equivalente a $-3*x$,
quindi mettendo insieme abbiamo
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))*sen(1/(x^2))=$
$=lim_(x->0)(x^2)/(-3*x)*sen(1/(x^2))=$
$=lim_(x->0)x*sen(1/(x^2))<=lim_(x->0)x=0$, ottenuto maggiorando il seno con 1...
spero vada bene...
R
con i limiti notevoli:
$(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sin(1/x^2)$ per $x->0
$2^(x^2)-1=x^2ln2(1+o(1))
$3-3^(x+1)=3(1-3^x)=-3xln3(1+o(1))
perciò $(x^2ln2(1+o(1)))/(-3xln3(1+o(1)))sin(1/x^2)=(xln2)/(-3ln3)(1+o(1))sin(1/x^2)
ed essendo $sin(1/x^2)$ una funzione definitivamente limitata per $x->0$ risulta $f(x)->0$ per $x->0
$(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sin(1/x^2)$ per $x->0
$2^(x^2)-1=x^2ln2(1+o(1))
$3-3^(x+1)=3(1-3^x)=-3xln3(1+o(1))
perciò $(x^2ln2(1+o(1)))/(-3xln3(1+o(1)))sin(1/x^2)=(xln2)/(-3ln3)(1+o(1))sin(1/x^2)
ed essendo $sin(1/x^2)$ una funzione definitivamente limitata per $x->0$ risulta $f(x)->0$ per $x->0
Sempre con i limiti notevoli:
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sin(1/x^2)=lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(x^2)*(x^2)/(x^2)*sin(1/x^2)/(1/x^2)*x/(-3(3^x-1))*1/x=ln2*1*1/(-3ln3)*lim_(x->0)sin(1/x^2)/(1/x)=0$
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))sin(1/x^2)=lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(x^2)*(x^2)/(x^2)*sin(1/x^2)/(1/x^2)*x/(-3(3^x-1))*1/x=ln2*1*1/(-3ln3)*lim_(x->0)sin(1/x^2)/(1/x)=0$
"matematicoestinto":
Ti dico come lo farei io, se non ti convince aspetta che lo risolva qualcuno più preparato di me che ho appena finito lo scientifico...
$lim_(x->0)(2^(x^2)-1)/(3-3^(x+1))*lim_(x->0)sen1/(x^2)$
La funzione seno è sempre limitata quindi il secondo limite è sempre compreso fra -1 e 1:
Applicando "Day Hospital" (come diceva senza scherzare il mio prof) al primo limite:
$lim_(x->0)(-2*ln2)/(3*ln3)*(2^(x^2)*x)/(3^x)=0$
Quindi il valore del limite cercato è $0$
Qualcuno potrebbe dirmi se questo metodo è corretto?
E' corretto tutto tranne la primissima parte; non puoi spezzare il limite del prodotto nel prodotto dei due limiti poichè il secondo limite non esiste.
Si rimedia subito: basta che osservi che il primo limite è $0$, e questo va bene, e che $sen(1/x^2)$ è una funzione limitata, per cui il prodotto tende a $0$.
Si rimedia subito: basta che osservi che il primo limite è $0$, e questo va bene, e che $sen(1/x^2)$ è una funzione limitata, per cui il prodotto tende a $0$.
Grazie per la spiegazione
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