Limite

[lars1]

Salve
ragazzi potreste risolvermi il limite x->0+ di $(x-(Sen sqrtx )^2 - (Sen x)^2)/x^2$
A me esce meno uno, ma qualcuno mi dice che nn è giusto.
Grazie mille!

[Giusepperoma2]

se leggo bene (non ho mathplayer!)

il limite e' -1

infatti si ha (passando al limite)

0-0-1= -1

per l'ultima parte basta osservare che:

(senx)^2/x^2 = (senx/x)^2

ora senx/x e' un limite notevole che tende a 1.

gli altri termini non danno problemi e tendono "pacificamente" a 0

ti torna?

[ficus2002]

Hai che $(x-(sin sqrtx )^2 - (sin x)^2)/x^2=(x-(sqrtx + O(sqrt{x^3}))^2-(x+O(x^3))^2)/x^2=(-x^2+O(x^2sqrt{x}))/x^2=-1+O(sqrt{x})$

quindi il limite vale $-1$.

[lars1]

Il mio professore ha detto che esce 2/3 ma a me sembra strano, a me esce -1 .
(era da risolvere con lo sviluppo in serie di Taylor).

[MaMo2]

Con Taylor si ottiene:
$(x-(sqrtx-sqrt(x^3)/6+o(sqrt(x^5)))^2-(x+o(x^3))^2)/x^2$
Svolgendo i quadrati si ottiene:
$(x-(x-x^2/3+o(x^3))-x^2+o(x^4))/x^2$
Cioè:
$(x^2/3-x^2+o(x^3))/x^2$
Il limite diventa dunque -2/3.

[ficus2002]

La mia soluzione è sbagliata. Quella di Mamo è corretta.

[Giusepperoma2]

evidentemente ho risolto il limite sbagliato... dipendera' dal fatto che non posso visualizzare le formule...

[lars1]

ma perchè non è legittima la mia risoluzione. Dove sta l'errore?
Sostituendo gli infinitesimi con gli infinitesimi equivalenti il risultato esce -1. Perchè non è corretto?

[ficus2002]

la mia soluzione è sbagliata perchè ho troncato male lo sviluppo di $sin sqrt x$, e dato che ho sbagliato a fare il quadrato non me ne sono accorto. Infatti, se si approssima $sin sqrt x$ con $sqrt x$, allora

$(sin sqrt x)^2=(sqrt x + O(sqrt x^3))^2=x + 2sqrtxO(sqrt x^3) + O(x^3)=x + O(x^2)$

cioè si approssima $(sin sqrt x)^2$ a meno di $O(x^2)$, ma dato che al denominatore c'è $x^2$ non si ottiene il risultato corretto.
Quindi bisogna approssimare $sin sqrt x$ con $sqrt x + 1/6 sqrt x^3$.