Limite
$(sum_{k=1}^n 1/sqrt(k) )/sqrt(n + 2)$
So che è scritto da schifo, ma penso si capisca. La sommatoria va fino ad n. Sotto la radice in alto c'è k, sotto la radice al denominatore c'è n+2 .
Qual è il limite per n-> + $infty$ ? La strada da seguire credo sia il Teorema del Confronto, ma non riesco cmq a risolverlo...
Mi date una mano?
Grazie!
Paola
So che è scritto da schifo, ma penso si capisca. La sommatoria va fino ad n. Sotto la radice in alto c'è k, sotto la radice al denominatore c'è n+2 .
Qual è il limite per n-> + $infty$ ? La strada da seguire credo sia il Teorema del Confronto, ma non riesco cmq a risolverlo...
Mi date una mano?
Grazie!
Paola
Risposte
Devi provare a trovare un "buon sviluppo asintotico" polinomiale della sommatoria... O provi con Taylor, oppure il metodo più spiccio credo sia quello del confronto integrale, confronti le aree che puoi individuare dalla sommatoria (immagina dei rettangolini di base 1 e altezza $1/sqrt(k)$) con l'area sottesa dalla funzione $y=1/sqrt(x)$... Troverai così una stima per eccesso ed una per difetto... la loro differenza intuitivamente andrà a zero all'infinito, visto che la funzione all'infinito è "piatta" con derivata nulla, cmq è da verificare... Poi il teorema del confronto (o dei due carabinieri, come è bello chiamarlo!) , come dicevi, ti porta alla soluzione... credo 
Ciao
Ciao
Vado di fretta (devo andare a giocare a tennis!!), quindi spero di non sparare cavolate e soprattutto di aver capito il testo!!
Per un teorema si ha
lim a(n) /b(n) = lim [a(n+1) –a(n)]/[b(n+1)-b(n)]
nel nostro caso il limite diventa
lim [1/sqrt(n+1)]/[sqrt(n+3)-sqrt(n+2)] = 2
Per un teorema si ha
lim a(n) /b(n) = lim [a(n+1) –a(n)]/[b(n+1)-b(n)]
nel nostro caso il limite diventa
lim [1/sqrt(n+1)]/[sqrt(n+3)-sqrt(n+2)] = 2
mi serve un aiuto urgente su un paio di limiti:
1) lim ( xsin2x)/(2x^2+x)=????
x->0
2) lim (sin(sqrt(x)))/(sqrt(2x))=???????
x->0
vi prego di rispondere subito perchè domani ho l'esame!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE
1) lim ( xsin2x)/(2x^2+x)=????
x->0
2) lim (sin(sqrt(x)))/(sqrt(2x))=???????
x->0
vi prego di rispondere subito perchè domani ho l'esame!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE
"Tex87":
mi serve un aiuto urgente su un paio di limiti:
1) lim ( xsin2x)/(2x^2+x)=????
x->0
2) lim (sin(sqrt(x)))/(sqrt(2x))=???????
x->0
vi prego di rispondere subito perchè domani ho l'esame!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE
E tu il giorno prima dell'esame chiedi come si risolvono i limiti?
@Piera: Il Teorema che usi è quello di Cesaro... Come faccio ad appliarlo però se non sono certa che la successione al numeratore tenda a $+ infty$? Poi in realtà al numeratore c'è una serie.. Potrei applicare cmq il Teorema?
@Thomas: i metodi che dici tu non li abbiamo usati, il calcolo integrale non lo abbiamo affrontato ancora. E lo sviluppo di Taylor lo abbiamo usato solo per funzioni con variabile reale!
Altre idee??
@Tex87
1) $[0/0]$ $lim_{x \to 0} (2x^2 sin(2x)/(2x))/(x(2x + 1)) = lim_{x \to 0} (2x^2)/x = 0 $
2) $[0/0]$ $lim_{x \to 0} (sin(sqrt(x)))/((sqrt(2))(sqrt(x))) = 1/(sqrt(2))$
Spero di non aver fatto errori...
Paola
@Thomas: i metodi che dici tu non li abbiamo usati, il calcolo integrale non lo abbiamo affrontato ancora. E lo sviluppo di Taylor lo abbiamo usato solo per funzioni con variabile reale!
Altre idee??
@Tex87
1) $[0/0]$ $lim_{x \to 0} (2x^2 sin(2x)/(2x))/(x(2x + 1)) = lim_{x \to 0} (2x^2)/x = 0 $
2) $[0/0]$ $lim_{x \to 0} (sin(sqrt(x)))/((sqrt(2))(sqrt(x))) = 1/(sqrt(2))$
Spero di non aver fatto errori...
Paola
Cmq il metodo che dico io non richiede conoscenze da analisi universitaria (nemmeno noi abbiamo fatto gli integrali), ma solo un confronto tra aree sottese...
In ogni caso, mi pareva il metodo più veloce....
La stima che viene fuori è comunque:
$2sqrt(n)>x>2*(sqrt(n+1)-1)$
ove x è le sommatoria fino ad n....
Volendo la stima si potrebbe provare per induzione... supponendo di essersi già immaginati la formula (almeno un verso si fà, l'altro non ho provato)....
Ma immagino tu voglia altro... se mi viene in mente qualcos'altro te lo dico...
byez
In ogni caso, mi pareva il metodo più veloce....
La stima che viene fuori è comunque:
$2sqrt(n)>x>2*(sqrt(n+1)-1)$
ove x è le sommatoria fino ad n....
Volendo la stima si potrebbe provare per induzione... supponendo di essersi già immaginati la formula (almeno un verso si fà, l'altro non ho provato)....
Ma immagino tu voglia altro... se mi viene in mente qualcos'altro te lo dico...
byez
@prime_number
al numeratore c'è la successione
a(n) = $(sum_{k=1}^n 1/sqrt(k) )$
che per n-->+inf diventa una serie divergente, quindi il teorema è applicabile
se non ti torna qualcosa dimmelo pure, può anche darsi che stia sbagliando!!
al numeratore c'è la successione
a(n) = $(sum_{k=1}^n 1/sqrt(k) )$
che per n-->+inf diventa una serie divergente, quindi il teorema è applicabile
se non ti torna qualcosa dimmelo pure, può anche darsi che stia sbagliando!!
Per dimostrare che la sommatoria al numeratore diverge si puo' fare cosi':
$1/(2sqrtn)>1/(sqrt(n+1)+sqrtn)=sqrt(n+1)-sqrtn$
Ponendo n=1,2,3..n.. si ha
$1>2sqrt2-2$
$1/sqrt2>2sqrt3-2sqrt2$
$1/sqrt3>2sqrt4-2sqrt3$
...............................
$1/sqrtn>2sqrt(n+1)-2sqrtn $
Sommando:
$sum_(k=1)^n1/sqrtk>2sqrt(n+1)-2$
e da cio' si vede chiaramente che la sommatoria diverge.
Dividendo poi per $sqrt(n+2)$ si capisce (intuitivamente!) che il limite e' 2
ma non sono riuscito a trovare una limitazione superiore come quella di Thomas.
Archimede
$1/(2sqrtn)>1/(sqrt(n+1)+sqrtn)=sqrt(n+1)-sqrtn$
Ponendo n=1,2,3..n.. si ha
$1>2sqrt2-2$
$1/sqrt2>2sqrt3-2sqrt2$
$1/sqrt3>2sqrt4-2sqrt3$
...............................
$1/sqrtn>2sqrt(n+1)-2sqrtn $
Sommando:
$sum_(k=1)^n1/sqrtk>2sqrt(n+1)-2$
e da cio' si vede chiaramente che la sommatoria diverge.
Dividendo poi per $sqrt(n+2)$ si capisce (intuitivamente!) che il limite e' 2
ma non sono riuscito a trovare una limitazione superiore come quella di Thomas.
Archimede
Anche la stima superiore col tuo metodo si trova, archimede, basta che poni
$1/(2*sqrt(n))<1/(sqrt(n)+sqrt(n-1))$
questo metodo dovrebbe finalmente soddisfare la nostra Paola!
$1/(2*sqrt(n))<1/(sqrt(n)+sqrt(n-1))$
questo metodo dovrebbe finalmente soddisfare la nostra Paola!
Perfetto (questa me la segno:mi piace molto).
Ciao.
Archimede.
Ciao.
Archimede.
Ciao, Paola
Vai tranquilla, perchè dubiti che la serie al denominatore diverga?
1/sqrt(k)>1/k
e la serie armonica (credo si chiami così ) diverge, come tu probabilmente sai.
Vai tranquilla, perchè dubiti che la serie al denominatore diverga?
1/sqrt(k)>1/k
e la serie armonica (credo si chiami così ) diverge, come tu probabilmente sai.
se prime_number conosce le serie,si può dimostrare anche cosi' la divergenza del numeratore:
per n-->+inf la successione diventa una serie armonica generalizzata con alfa =1/2 <1 che diverge, e poi , visto che mi sembra che conosca il teorema di Cesaro,gli conviene applicarlo
per n-->+inf la successione diventa una serie armonica generalizzata con alfa =1/2 <1 che diverge, e poi , visto che mi sembra che conosca il teorema di Cesaro,gli conviene applicarlo
Faccio cortesemente osservare che al denominatore non compare
nessuna serie ma semplicemente l'espressione $sqrt(n+2)$.
La sommatoria ,almeno da quello che ha scritto Prime_Number, agisce
solo sul numeratore.
Archimede.
nessuna serie ma semplicemente l'espressione $sqrt(n+2)$.
La sommatoria ,almeno da quello che ha scritto Prime_Number, agisce
solo sul numeratore.
Archimede.
si, certo, ma al numeratore la successione a(n) è la somma parziale di una serie armonica genaralizzata che per n-->+inf diventa una serie armonica generalizzata, cioè
lim a(n) = Sum[k=1 +inf] 1/ (sqrt(k) = Sum[n=1 +inf] 1/sqrt(n) = +inf
poi tenendo conto che al denominatore sqrt(n+2) diverge, applico Cesaro
è chiaro che se prime_number non conosce le serie, per dimostrare la divergenza del numeratore si può fare come ha fatto archimede oppure cosi':
1+1/sqrt(2) +...+1/sqrt(n) > 1 + 1/2 + ...+1/n >
> log 2 + log 3/2+...+log[(n+1)/n] = log(n+1)
quindi 1+1/sqrt(2) +...+1/sqrt(n) > log(n+1)-->+inf
nell'ultimo passaggio ho applicato la disuguaglianza 1/n > log(1 + 1/n )
lim a(n) = Sum[k=1 +inf] 1/ (sqrt(k) = Sum[n=1 +inf] 1/sqrt(n) = +inf
poi tenendo conto che al denominatore sqrt(n+2) diverge, applico Cesaro
è chiaro che se prime_number non conosce le serie, per dimostrare la divergenza del numeratore si può fare come ha fatto archimede oppure cosi':
1+1/sqrt(2) +...+1/sqrt(n) > 1 + 1/2 + ...+1/n >
> log 2 + log 3/2+...+log[(n+1)/n] = log(n+1)
quindi 1+1/sqrt(2) +...+1/sqrt(n) > log(n+1)-->+inf
nell'ultimo passaggio ho applicato la disuguaglianza 1/n > log(1 + 1/n )
Il limite diverge per considerazioni abbastanza semplici: non complichiamoci la vita.
Complimenti però per la tua vasta conoscenza.
Sia s(n)= [ 1+ 1/sqrt2+...........1/sqrtn]/ sqrt(n+2)
posto r(n)=[1/sqrtn+1/sqrtn+......=n/sqrtn]/sqrt(n+2)
s(n)>r(n)
ma il limite di r(n) per n all'infinito è 1 se non sbaglio (ad occhio ,verificare)
allora s(n) non va a zero per n all"infinito condizione necessaria per la convergenza .
Ovvio che la serie essendo a termini positvi converge aut diverge.
Complimenti però per la tua vasta conoscenza.
Sia s(n)= [ 1+ 1/sqrt2+...........1/sqrtn]/ sqrt(n+2)
posto r(n)=[1/sqrtn+1/sqrtn+......=n/sqrtn]/sqrt(n+2)
s(n)>r(n)
ma il limite di r(n) per n all'infinito è 1 se non sbaglio (ad occhio ,verificare)
allora s(n) non va a zero per n all"infinito condizione necessaria per la convergenza .
Ovvio che la serie essendo a termini positvi converge aut diverge.
cerco di spiegare meglio quello che ho fatto.
la successione a(n)= Sum[k=1 n] 1/ (sqrt(k)
diverge ( archimede ,io, ed altri lo hanno dimostrato sopra)
siccome anche b(n) =sqrt(n+2) diverge siamo nella forma indeterminata +inf / +inf
Teorema di Cesaro
siano a(n) e b(n) due successioni ( b(n) monotona e divergente), allora
lim[a(n+1) –a(n)]/[b(n+1)-b(n)]=lim a(n) /b(n)
se il primo limite esiste.
applichiamolo nel nostro caso (in realtà per applicare il teorema è solo richiesta la divergenza di b(n) , quindi si poteva trascurare lo studio del numeratore del limite di prime_number, mi sembrava di ricordare ,sbagliando, che anche a(n) dovesse divergere!!) :
lim [Sum[k=1 n+1] 1/ (sqrt(k) -Sum[k=1 n] 1/ (sqrt(k)]/(sqrt(n+3)-sqrt(n+2))=
lim [1/sqrt(n+1)]/[sqrt(n+3)-sqrt(n+2)] = 2
la successione a(n)= Sum[k=1 n] 1/ (sqrt(k)
diverge ( archimede ,io, ed altri lo hanno dimostrato sopra)
siccome anche b(n) =sqrt(n+2) diverge siamo nella forma indeterminata +inf / +inf
Teorema di Cesaro
siano a(n) e b(n) due successioni ( b(n) monotona e divergente), allora
lim[a(n+1) –a(n)]/[b(n+1)-b(n)]=lim a(n) /b(n)
se il primo limite esiste.
applichiamolo nel nostro caso (in realtà per applicare il teorema è solo richiesta la divergenza di b(n) , quindi si poteva trascurare lo studio del numeratore del limite di prime_number, mi sembrava di ricordare ,sbagliando, che anche a(n) dovesse divergere!!) :
lim [Sum[k=1 n+1] 1/ (sqrt(k) -Sum[k=1 n] 1/ (sqrt(k)]/(sqrt(n+3)-sqrt(n+2))=
lim [1/sqrt(n+1)]/[sqrt(n+3)-sqrt(n+2)] = 2
O.K. Piera!
Ho riletto il testo ( che pensavo di ricordare!) e non era quello di cui parlavo!
QUANTO SCRITTO NELL'ULTIMO POST NON C'ENTRA OVVIAMENTE NIENTE CON IL LIMITE RICHIESTO ( si riferisce alla sommatoria degli s(n))
Confesso di aver sorvolato sulla tua dim. perchè mi sembrava complicata (e semplice non è )
Ma potrebbe non essere possibile fare di meglio ed evitare il teor. di Cesaro.
MOLTE SCUSE INFINE A PAOLA!
Ho riletto il testo ( che pensavo di ricordare!) e non era quello di cui parlavo!
QUANTO SCRITTO NELL'ULTIMO POST NON C'ENTRA OVVIAMENTE NIENTE CON IL LIMITE RICHIESTO ( si riferisce alla sommatoria degli s(n))
Confesso di aver sorvolato sulla tua dim. perchè mi sembrava complicata (e semplice non è )
Ma potrebbe non essere possibile fare di meglio ed evitare il teor. di Cesaro.
MOLTE SCUSE INFINE A PAOLA!
Grazie a tutti, siete stati molto chiari!
Paola
Paola
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