Limite

[Viger1]

ciao, mi riuscite a spiegare senza de l'Hopital perchè questo limite tende a 3/2???

LIM (1-(cosx)^3)/(xsinxcosx)
x->0

grazie a tutti

[fireball1]

1 - cos^3(x) = (1 - cos(x))(1 + cos^2(x) + cos(x))
Poiché, inoltre, per x->0, sin(x)->x (per il fatto che
lim[x->0] sin(x)/x = 1), il limite può riscriversi come:



(1 - cos(x))/x^2 tende a 1/2 per x->0 ; è un limite notevole
che si può dimostrare, ad esempio, tenendo conto che 1 - cos(x) = 2sin^2(x/2)
oppure moltiplicando numeratore e denominatore per 1 + cos(x)

[Viger1]

grazie mille

posso apporofittarne per chiederti un altro limite che non mi torna?

Lim (x-1)/(e^x - e)
x->1

grazie

[fireball1]

E' semplicissimo, basta mettere in evidenza e al denominatore:
lim[x->1] (x - 1)/(e(e^(x - 1) - 1) = 1/e

[Viger1]

ma perchè al numeratore non viene 0 scusa?

[fireball1]

Perché ora è visibile il limite notevole, anche se in un'altra forma.
Tu sai che lim[x->0] (e^x - 1)/x = 1 e che lo stesso limite, di x/(e^x - 1),
è sempre 1. In questo caso però al posto di x c'è x - 1, e invece
che tendere a 0, x tende a 1, quindi il limite:

lim[x->1] (x - 1)/(e^(x - 1) - 1) = 1

Infatti se fai un cambio di variabile, ponendo x - 1 = y,
ottieni il limite notevole: lim[y->0] y/(e^y - 1) = 1

Tutto questo limite (che vale quindi 1) va diviso per e,
perché c'è una e al denominatore, quindi il risultato è 1/e

[Viger1]

grazie mille per la spiegazione