Limite

[ocram3]

non riesco a capire una cosa:

perche' il lim(per x che tende a zero a valori positivi) di

log(sin(3x))/log(sin(x))

fa uno?.

a livello intuitivo so che il sin(3x) ha una pendenza maggiore di quella del sin(x), quindi il log(sin(3x)) va a -infinito piu' "velocemente" del log(sin(x)) di conseguenza il limite dovrebbe essere -infinito.
pero' a quanto mi dice derive sto sbagliando tutto.
sapreste spiegarmi dove sbaglio?

(premetto che nn ho fatto le serie di Taylor, quindi se questo problema richiede quella conoscenza specifica lasciate pure perdere )

grazie.

ocram

[Camillo]

No, attenzione x e 3x vanno a zero allo stesso modo, sono infinitesimi dello stesso ordine !
x e x^2 non vanno a zero allo stesso modo invece , in quanto x^2 è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a : x

[ocram3]

ah vero nn ci avevo pensato...cmq nn c'e' un modo un po' piu' rigoroso di spiegare la feccenda?
il fatto e' che fare un limite in un passaggio solo all'esame nn e' proprio una cosa bella da fare

[Sk_Anonymous]

Forse si puo' osservare che dalla goniometria
risulta :
sin(3x)=3sin(x)-4(sin(x))^3 e siccome
(sin(x))^3 tende a zero piu' rapidamente
di sin(x),effettivamente sin(3x) e' dello
stesso ordine di sin(x).Pertanto il limite
richiesto puo' essere finito.
La regola di de l'Hopital conferma il ragionamento.
karl.

[Cavia1]

lim per y->0 di siny/y=1 per cui lim per y->0 di log(siny/y)=0.
Ora log(sin3x)/log(sinx)=log((sin3x/3x)*(3x))/log((sinx/x)*x)=
=(log(sin3x/3x)+log3+logx)/(log(sinx/x)+logx)
Per x->0 log(sin3x/3x)->1 e così pure log(sinx/x) e quindi il limite vale 1
A occhio sin3x va come 3x e sinx va come x, per cui log(sin3x)/log(sinx) va come log3x/logx=1+log3/logx, che tende a 1.




Cavia