Limite

[keplero1]

Purtroppo (per me) non mi riesce questo limite. Confido nella vostra benevolenza e sapienza!

[goblyn]

sin(x) = x - (x^3)/6 + o(x^4)

[sin(x)]^2 = x^2 - (x^4)/3 + o(x^4)

(ho trascurato il termine di sesto grado)

------------------------------------

log(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)

log(1+x^2) = x^2 - (x^4)/2 + o(x^4)

-------------------------------------

sostituendo:

numeratore: -(x^4)/3 + o(x^4)
denominatore: (x^4)/2 + o(x^4)

Il rapporto (trascurando gli o piccoli perché x tende a 0) vale proprio -2/3



Modificato da - goblyn il 27/12/2003 18:28:50

[keplero1]

E come si potrebbe fare senza Taylor?




Modificato da - keplero il 27/12/2003 18:32:45

[goblyn]

mmm... puoi provare applicando ripetutamente de l'Hopital... ma perché Taylor non va bene?

[Camillo]

Ecco come si può risolvere il limite usando gli sviluppi di Taylor :

Poichè : sinx = x-x^3/6 +o(x^4) , allora : sin^2 x = x^2+x^6/36 -x^4/3+[(o(x^4)]^2+2*x*o(x^4)-x^3/3*o(x^4) e quindi per x che tende a 0 si ha : sin^2 x= x^2-x^4/3+o(x^5) .

Analogamente è : log(1+x) = x-x^2/2+o(x^2) e quindi per x che tende a 0 si ha :
log(1+x^2) = x^2-x^4/2 +o(x^4).
Il limite diventa quindi :

[ x^2-x^4/3+o(x^5)-x^2]/[ x^2 -x^2+x^4/2-o(x^4) ] che si riduce a :
[ -x^4/3 +o(x^5)] /[ x^4/2-o(x^4)] e quindi per x che tende a 0 il limite diventa : -2/3.
Camillo

[keplero1]

Non lo posso fare con Taylor, ed evidentemente l'Hopital non lo applico bene, perchè non mi viene

[goblyn]

N = [sin(x)]^2 - x^2
D = x^2 - log(1+x^2)

N' = 2sin(x)cos(x) - 2x
D' = 2x - 2x/(1+x^2) = 2(x^3)/(1+x^2)

Dividiamo tutto per 2 e riorganizziamo num e den:

N = (1+x^2)(sin(x)cos(x)-x)
D = x^3

N' = 2x(sin(x)cos(x)-x)+(1+x^2)(cos(2x)-1)
D' = 3x^2

N'' = 2(sin(x)cos(x)-x) + 4x(cos(2x)-1) - 2(1+x^2)sin(2x)
D'' = 6x

N''' = 2(cos(2x)-1) + 4(cos(2x)-1) - 8xsin(2x) - 4xsin(2x) - 4(1+x^2)cos(2x)
D''' = 6

Ora N''' tende a -4 quindi il limite vale -4/6=-2/3. Ciao!

[keplero1]

Grazie mille goblyn! Avevo sbagliato l'ultima derivata...
Grazie anche al... ripetitivo camillo!