Limite...

[Anto37]

lim per x->inf ( (1+x+x^2) / (x^2) ) ^ sqrt(x^2+1)

Grazie a tutti!

[Camillo]

lim per x che tende all’ 00 di ( (1+x+x^2)/x^2)^ sqrt(1+x^2)
Modifico la base operando la divisione per x^2 ed ottengo : 1+1/x+1/x^2 ; inoltre l’esponente , per x che tende all’00 è asintotico ad : x .
Quindi il limite da calcolare diventa : ( 1+1/x+1/x^2) ^x sempre per x che tende all’ 00.
Lo si può scrivere così : e^(x* ln(1+1/x+1/x^2))
Ricordando che ln ( 1+1/x +1/x^2) per x che tende a +00 (e quindi 1/x tendente a 0), è asintotico a : 1/x+1/x^2 , si ottiene alla fine da calcolare il limite per x che tende all’ 00 di : e^(x*(1/x+1/x^2) = e^(1+1/x) che chiaramente tende a e.

ciao
Camillo
N.B. Dato che è un limite un pò complicato se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure.

[Anto37]

Grazie Camillo, è tutto chiaro, una pao di informazioni:
1. tu utilizzi la formula di Taylor, sbaglio?
2.C'è qualche altro metodo con il quale risolvere il nostro limite evitando Taylor appunto?
Grazie ancora!

[Camillo]

Anto, ecco la risposta alle tue domande:
1) Io uso gli sviluppi asintotici ( per x che tende a 0) come :
sen x = x+o(x)
ln(1+x) = x+o(x)
e^x = 1+x+o(x)

(1+x)^(beta) = 1+ beta*x +o(x) [ per beta diverso da 0]
etc..
Sono in effetti sviluppi di Taylor / Mc Laurin troncati.
2) Non escludo ci siano altri metodi ; però questo ha il vantaggio di

semplicità in quanto approssima funzione trascendenti con polinomi

facili da maneggiare.
ciao
Camillo